Aby obliczyć tego typu granice należy podzielić licznik i mianownik ułamka, przez najwyższą potęgę mianownika. Pamiętajmy, że jeśli [tex]k>0[/tex], to:
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{k} } =0[/tex]
Podczas rozwiązywania będziemy z tego korzystać w każdym z przykładów.
Rozwiązania:
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2}n +8}{2n+4} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(\frac{1}{2}+\frac{8}{n}) }{n(2+\frac{4}{n})} =\frac{\frac{1}{2} }{2} =\frac{1}{4}[/tex]
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{3n^{2}-12 }{2n^{2}+3 } = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}(3+\frac{12}{n^{2} }) }{n^{2}(2+\frac{3}{n}) } =\frac{3}{2}[/tex]
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{-6n^{2}+n-5 }{1+n+3n^{2} } = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}(-6+\frac{1}{n}-\frac{5}{n^{2} }) }{n^{2}(\frac{1}{n^{2} }+\frac{1}{n}+ 3) } =\frac{-6}{3} =-2[/tex]
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{100n^{2} +1}{n^{4}+3n } = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{4} (\frac{100}{n^{2} }+\frac{1}{n^{4} } ) }{n^{4}(1+\frac{3}{n^{3} }) } =\frac{0}{1} =0[/tex]
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{-4n^{3}+4n^{2}+2n-1 }{-6n^{4} +4n^{2} +1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{4}(\frac{-4}{n} +\frac{4}{n^{2} }+\frac{2}{n^{3} } -\frac{1}{n^{4} }) }{n^{4}(-6+\frac{4}{n^{2} }+\frac{1}{n^{4} } ) } =\frac{0}{-6} =0[/tex]
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{8n^{8}+6n^{6}-4n^{4} }{n^{5} +n^{7}-n^{9} } = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{9}(\frac{8}{n}+\frac{6}{n^{3} }-\frac{4}{n^{5} } ) }{n^{9} (\frac{1}{n^{4} }+\frac{1}{n^{2} }-1) } =\frac{0}{-1} =0[/tex]
