Odpowiedź:
[tex]p=-1[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Na wstępie widać, że jednym z rozwiązań podanego równania jest liczba [tex]3[/tex]. Zatem trójmian kwadratowy musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie i musi być ono różne od [tex]3[/tex]. Obliczamy wyróżnik:
Δ = [tex]4(4p^{2}+4p+1)-4(p^{2}+4p+4)=16p^{2} +16p+4-4p^{2}-16p-16=12p^{2}-12[/tex]
Trójmian kwadratowy będzie miał jedno rozwiązanie, gdy Δ = [tex]0[/tex]. Zatem:
[tex]12p^{2}-12=0\\(p-1)(p+1)=0\\p=-1, p = 1[/tex]
Rozwiązaniem czynnika w drugim nawiasie jest:
[tex]x_{0}=\frac{4p+2}{2}=2p+1[/tex]
Sprawdzamy dla jakiego [tex]p[/tex] jest ono różne od [tex]3[/tex]:
[tex]2p+1\neq 3\\2p\neq 2\\ p\neq 1[/tex]
Uwzględniając wcześniejszy warunek, otrzymujemy odpowiedź:
[tex]p=-1[/tex]