Odpowiedź:
45 cyfr
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]6^3\cdot8^{13}\cdot15^2\cdot25^{20}=(2\cdot3)^3\cdot\left(2^3\right)^{13}\cdot(3\cdot5)^2\cdot\left(5^2\right)^{20}[/tex]
skorzystamy z twierdzeń:
[tex](a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\\\\(a^n)^m=a^{n\cdot m}[/tex]
[tex]=2^3\cdot3^3\cdot2^{39}\cdot3^2\cdot5^2\cdot5^{40}[/tex]
skorzystamy z przemienności mnożenia oraz twierdzenia:
[tex]a^n\cdot a^m=a^{n+m}[/tex]
[tex]=2^{3+39}\cdot5^{2+40}\cdot3^{3+2}=2^{42}\cdot5^{42}\cdot3^5[/tex]
skorzystamy z twierdzenia:
[tex]a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n[/tex]
[tex]=3^5\cdot(2\cdot5)^{42}=243\cdot10^{42}[/tex]
Czyli jest to liczba posiadająca trzy cyfry 243 oraz 42 zera. Razem 45 cyfr.
