Jeżeli wielomian W(x) o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.
Pamiętając, że liczba p jest pierwiastkiem (miejscem zerowym) wielomianu W(x), gdy W(p) = 0 oraz o tw. Bezouta: Jeśli liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x - p).
Pierwiastek wielomianu jest zarazem pierwiastkiem równania wielomianowego.
----------
x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
W(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
D₋₆ = {1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6}
W(1) = 1³ - 6 · 1² + 11 · 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0
Liczba x = 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), stąd:
(x³ - 6x² + 11x - 6) : (x - 1) = x² - 5x + 6
- x³ + x²
- 5x² + 11x - 6
5x² - 5x
6x - 6
- 6x + 6
0
W(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 = (x - 1)(x² - 5x + 6)
Zatem:
x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
x - 1 = 0 lub x² - 5x + 6 = 0
x - 1 = 0
x = 1
x² - 5x + 6 = 0
Δ = (- 5)² - 4 · 1 · 6 = 25 - 24 = 1; √Δ = √1 = 1
[tex]x_1 = \frac{-(-5) - 1}{2 \cdot 1} =\frac{5-1}{2} =\frac{4}{2} = 2 \\ x_2 = \frac{-(-5) + 1}{2 \cdot 1} =\frac{5+1}{2} =\frac{6}{2} = 3 \\ \underline{x = 2 \ \ lub \ \ x = 3}[/tex]
Odp. x = 1 lub x = 2 lub x = 3
