Zad. 20
a + b = 168 i a, b ∈ N
NWD(a, b) = 24, czyli a = 24 · k i b = 24 · l oraz k, l ∈ N⁺ i NWD(k, l) = 1
a + b = 168
24 · k + 24 · l = 168 |:24
k + l = 7
Szukamy liczb względnie pierwszych, których suma jest równa 7. Są to liczby: 1 i 6 lub 2 i 5 lub 3 i 4
Zatem:
a = 24 · 1 = 24 i b = 24 · 6 = 144
a = 24 · 2 = 48 i b = 24 · 5 = 120
a = 24 · 3 = 72 i b = 24 · 4 = 96
Odp. Liczby spełniające warunki zadania to: 24 i 144 lub 48 i 120 lub 72 i 96.
Zad. 21
[tex]\dfrac{1}{6}(k^3-k - 102) = \dfrac{k^3-k - 102}{6} =\dfrac{k(k^2-1) - 6 \cdot 17}{6} =\dfrac{k(k-1)(k+1) - 6 \cdot 17}{6}[/tex]
Iloczyn k(k - 1)(k + 1) to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, więc dokładnie jedna z tych liczb jest podzielna przez 3 i co najmniej jedna jest podzielna przez 2, zatem iloczyn jest podzielny przez 2 i przez 3, czyli jest podzielny przez 6. Liczba 102 = 6 · 17 jest podzielna przez 6. Różnica dwóch liczb podzielnych przez 6 jest podzielna przez 6. Zatem dzieląc licznik i mianownik ułamka przez 6 otrzymamy liczbę całkowitą, co należało wykazać.
