Rozwiązanie:
Rysunek w załączniku.
Zacznijmy od tego, że spodek wysokości czworościanu leży na środku okręgu opisanego (także wpisanego) na podstawie, czyli trójkącie równobocznym. Odcinek [tex]AF[/tex] jest równy [tex]\frac{2}{3}h[/tex], gdzie [tex]h[/tex] to wysokość podstawy czworościanu. Obliczamy ją ze wzoru:
[tex]h=\frac{a\sqrt{3} }{2}[/tex]
Teraz możemy popatrzeć na trójkąt prostokątny [tex]AFD[/tex] i obliczyć z twierdzenia Pitagorasa wysokość czworościanu:
[tex]H^{2} =a^{2}-(\frac{a\sqrt{3} }{2} )^{2} =a^{2} -\frac{a^{2}}{3} =\frac{2a^{2}}{3}\\H=\frac{a\sqrt{2} }{\sqrt{3} } =\frac{a\sqrt{6} }{3}[/tex]
Jeżeli mamy wysokość czworościanu, to możemy już obliczyć jego objętość:
[tex]V=\frac{1}{3}P_{p}H=\frac{1}{3} *\frac{a^{2}\sqrt{3} }{4}*\frac{a\sqrt{6} }{3} =\frac{a^{3}\sqrt{18} }{36} =\frac{a^{3}\sqrt{2} }{12}[/tex]
Tak oto doszliśmy do ogólnego wzoru na objętość czworościanu o krawędzi długości [tex]a[/tex]. W naszym zadaniu [tex]a=3[/tex], więc:
[tex]V=\frac{3^{3}\sqrt{2} }{12} =\frac{27\sqrt{2} }{12} =\frac{9\sqrt{2} }{4} cm^{3}[/tex]
