Odpowiedź:
[tex]P=12[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Ponieważ w rombie przekątne przecinają się pod kątem prostym możemy wyznaczyć równanie prostej w której zawiera się przekątna BD. Będzie to prosta prostopadła do danej i przechodząca przez punkt D.
zatem:
[tex]y=ax+b[/tex]
Z warunku prostopadłości prostych:
[tex]a=-1[/tex]
Ze współrzędnych punktu D:
[tex]8=-1*(-5)+b\\b=3\\y=-x+3[/tex]
Wyznaczmy teraz punkt przecięcia się prostych:
[tex]\left \{ {{y=x+7} \atop {y=-x+3}} \right. \\\left \{ {{x=-2} \atop {y=5}} \right.[/tex]
Przyjmijmy oznaczenie
E=(-2;5)
Skoro jest to romb to przekątne przecinają się dokładnie w połowie długości. Wystarczy obliczyć długości AE oraz DE i odpowiednio przemnożone wstawić do wzoru.
[tex]|AE|=\sqrt{(-3+2)^2+(4-5)^2} =\sqrt{2}[/tex]
[tex]|DE|=\sqrt{(-5+2)^2+(8-5)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}[/tex]
Możemy teraz obliczyć pole:
[tex]P=\frac{1}{2} *2*|AE|*2*|DE|=2*|AE|*|DE|=2*\sqrt{2} *3\sqrt{2} =12[/tex]
Rysunek poglądowy w załączniku (wyznaczyłem wszystkie wierzchołki, jednak nie jest to konieczne).
