Zad. 4
Jeśli trzy liczby [tex](a_{n-1}, \ a_n, \ a_{n+1})[/tex] tworzą ciąg geometryczny, to kwadrat środkowej liczby jest równy iloczynowi liczb skrajnych: [tex]a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}[/tex]
----------
[tex]\sqrt{5} - 2, \ \frac{1}{2}, \ \frac{\sqrt{5} + 2}{4} \\\\ (\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4} \\\\ (\sqrt{5} - 2)(\frac{\sqrt{5} + 2}{4})= \frac{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)}{4}= \frac{(\sqrt{5})^2 - 2^2}{4}= \frac{5-4}{4} =\frac{1}{4} \\\\ Zatem: \ (\frac{1}{2})^2= (\sqrt{5} - 2)(\frac{\sqrt{5} + 2}{4})[/tex]
Kwadrat środkowej liczby jest równy iloczynowi liczb skrajnych, zatem dane liczby tworzą ciąg geometryczny, co należało wykazać.
----------
Uwaga: Obliczania są dla liczb podanych w załączniku do pytania. Liczby podane w treści zadania [tex]\sqrt{5} - 2, \ \frac{1}{2}, \ \frac{\sqrt{5} - 2}{4}[/tex] nie tworzą ciągu geometrycznego.
