Rozwiązanie:
Zadanie 1.
[tex]x^{2}-mx+2m-3=0[/tex]
Obliczamy wyróżnik:
[tex]\Delta=m^{2}-4(2m-3)=m^{2}-8m+12[/tex]
Aby istniały dwa różne pierwiastki mus zachodzić warunek [tex]\Delta>0[/tex]:
[tex]m^{2}-8m+12>0\\\Delta_{m}=64-4*1*12=16\\m_{1}=\frac{8+4}{2}=6\\m_{2}=\frac{8-4}{2}=2[/tex]
Szkicujemy wykres (załącznik) i odczytujemy rozwiązanie:
[tex]m[/tex] ∈ [tex](-\infty,2)[/tex] ∪ [tex](6,\infty)[/tex]
Pierwiastki mają być dodatnie, zatem ze wzorów Viete'a mamy:
[tex]x_{1}+x_{2}>0\\x_{1}x_{2}>0[/tex]
W naszym przypadku:
[tex]x_{1}+x_{2}=m\\x_{1}x_{2}=2m-3[/tex]
Sprawdzamy dla jakich [tex]m[/tex] zachodzą podane warunki:
[tex]m>0\\2m-3>0\\m>\frac{3}{2}[/tex]
Teraz pozostało zsumować rozwiązania, otrzymamy wynik:
[tex]m[/tex] ∈ [tex](\frac{3}{2}, 2)[/tex] ∪ [tex](6,\infty)[/tex]
Zadanie 2.
[tex]x^2-8x+m=0[/tex]
[tex]\Delta=64-4m[/tex]
Aby istniały dwa różne pierwiastki musi zachodzić warunek [tex]\Delta>0[/tex]:
[tex]64-4m>0\\4m<64\\m<16[/tex]
Sumę kwadratów pierwiastków możemy wyrazić przy pomocy wzorów Viete'a:
[tex]x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}[/tex]
W naszym przypadku:
[tex]x_{1}+x_{2}=8\\x_{1}x_{2}=m[/tex]
Zatem:
[tex]8^{2}-2m=34\\64-2m=34\\-2m=-30\\m=15[/tex]
Zauważmy, że to rozwiązanie należy do wcześniej wyznaczonej dziedziny, dla której równanie ma dwa pierwiastki.
