Zad. 11
W(x) = 2x³ + ax² + bx + c
W(x) = P(x) · Q(x) + R(x), gdzie R(x) to reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez niezerowy wielomian P(x).
Z treści zadania
W(x) = P₁(x) · Q₁(x) i P₁(x) = x² + x - 6 oraz R₁(x) = 0
W(x) = P₂(x) · Q₂(x) + R₂(x) i P₂(x) = x + 1 oraz R₂(x) = 6
W(x) = P₁(x) · Q₁(x) i P₁(x) = x² + x - 6 oraz R₁(x) = 0
P₁(x) = x² + x - 6
Δ = 1² - 4 · 1 · (- 6) = 1 + 24 = 25; √Δ = √25 = 5
[tex]x_1 = \frac{-1-5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \\ x_2 = \frac{-1+5}{2} = \frac{4}{2} =2[/tex]
Liczby x = - 3 i x = 2 są pierwiastkami wielomianu P₁(x) i W(x), ponieważ wielomian W(x) jest podzielny przez trójmian P₁(x).
Stąd:
W(- 3) = 2 · (- 3)³ + a · (- 3)² + b · (- 3) + c = 2 · (- 27) + a · 9 - 3b + c = - 54 + 9a - 3b + c
Zatem:
- 54 + 9a - 3b + c = 0
9a - 3b + c = 54
oraz
W(2) = 2 · 2³ + a · 2² + b · 2 + c = 2 · 8 + a · 4 + 2b + c = 16 + 4a + 2b + c
Zatem:
16 + 4a + 2b + c = 0
4a + 2b + c = - 16
W(x) = P₂(x) · Q₂(x) + R₂(x) i P₂(x) = x + 1 oraz R₂(x) = 6
Korzystamy z tw. o reszcie: Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x - p) jest równa W(p). Stąd:
P₂(x) = x + 1 to p = - 1 i W(- 1) = 6
W(- 1) = 2 · (- 1)³ + a · (- 1)² + b · (- 1) + c = 2 · (- 1) + a · 1 - b + c = - 2 + a - b + c
Zatem:
- 2 + a - b + c = 6
a - b + c = 6 + 2
a - b + c = 8
[tex]\begin{cases} 9a - 3b + c = 54 \\ 4a + 2b + c = - 16 \\ a - b + c = 8 \ \ \ |\cdot (-1) \end{cases} \\\\ \underline{\begin{cases} 9a - 3b + c = 54 \\ 4a + 2b + c = - 16 \\ - a+b-c =-8 \end{cases}} \ \ \ |+ (dodajemy \ r\'ownania \ 1 \ i \ 3 \ oraz \ 2 \ i \ 3) \\\\ \begin{cases} 8a-2b=46 \ \ \ |:2 \\ 3a+3b=-24 \ \ \ |:3 \end{cases} \\\\ \underline{\begin{cases} 4a-b=23 \\ a+b=- 8 \end{cases}} \ \ \ |+ \\\\ 5a=15 \ \ \ |:5 \\ \underline{a = 3} \\\\ a+b=-8 \\ 3+b=-8 \\ b =-8-3 \\ \underline{b =-11}[/tex]
[tex]a - b + c = 8 \\ 3 - (- 11) + c = 8 \\ 3 + 11 + c = 8 \\ 14 + c = 8 \\ c = 8 - 14 \\ c = - 6 \\\\ \begin{cases} a = 3\\ b = - 11 \\ c = - 6 \end{cases}[/tex]
Odp. a = 3, b = - 11 i c = - 6.
