Rozwiązanie:
[tex]|x-2|+\sqrt{x^{2}+2x+1}<5\\|x-2|+\sqrt{(x+1)^{2}} <5\\|x-2|+|x+1|<5[/tex]
Wyznaczamy miejsca zerowe modułów:
[tex]x=-1, x=2[/tex]
Zatem będziemy rozpatrywać trzy przypadki:
[tex]1[/tex]° [tex]x[/tex] ∈ [tex](-\infty, -1)[/tex]
[tex]-(x-2)-(x+1)<5\\-x+2-x-1<5\\-2x<4\\x>-2[/tex]
Uwzględniając dziedzinę pierwszego przypadku mamy:
[tex]x[/tex] ∈ [tex](-2,-1)[/tex]
[tex]2[/tex]° [tex]x[/tex] ∈ [tex]<-1,2)[/tex]
[tex]-(x-2)+x+1<5\\-x+2+x+1<5\\3<5[/tex]
Jest to nierówność prawdziwa, więc:
[tex]x[/tex] ∈ [tex]<-1,2)[/tex]
[tex]3[/tex]° [tex]x[/tex] ∈ [tex]<2,\infty)[/tex]
[tex]x-2+x+1<5\\2x<6\\x<3[/tex]
Uwzględniając dziedzinę dostaniemy:
[tex]x[/tex] ∈ [tex]<2,3)[/tex]
Sumujemy rozwiązania i dostajemy odpowiedź do zadania:
[tex]x[/tex] ∈ [tex](-2,3)[/tex]