Rozwiązanie:
a) [tex]f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x-3[/tex]
[tex]f'(x)=6x^{2}-18x+12[/tex]
[tex]f'(x)=0[/tex] ⇔ [tex]6x^{2}-18x+12=0\\[/tex]
[tex]x^{2}-3x+2=0\\\Delta=9-4*1*2=1\\x_{1}=\frac{3-1}{2}=1\\x_{2}= \frac{3+1}{2}=2[/tex]
Szkicujemy wykres pochodnej (załącznik) i odczytujemy:
[tex]f'(x)>0[/tex] dla [tex]x[/tex] ∈ [tex](-\infty, 1)[/tex] ∪ [tex](2,\infty)[/tex]
[tex]f'(x)=0[/tex] dla [tex]x[/tex] ∈ [tex][1,2][/tex]
[tex]f'(x)<0[/tex] dla [tex]x[/tex] ∈ [tex](1,2)[/tex]
Zatem funkcja [tex]f[/tex] jest rosnąca w przedziale [tex](-\infty, 1>[/tex] ∪ [tex]<2,\infty)[/tex] oraz malejąca w przedziale [tex]<1,2>[/tex].
b) [tex]f(x)=4x^{2}+\frac{1}{x}[/tex], [tex]x\neq 0[/tex]
[tex]f'(x)=8x-\frac{1}{x^{2}}[/tex]
[tex]f'(x)=0[/tex] ⇔ [tex]8x-\frac{1}{x^{2}}=0[/tex]
[tex]8x^{3}-1=0\\x^{3}=\frac{1}{8} \\x=\frac{1}{2}[/tex]
Szkicujemy wykres pochodnej (załącznik) i odczytujemy:
[tex]f'(x)>0[/tex] dla [tex]x[/tex] ∈ [tex](\frac{1}{2},\infty)[/tex]
[tex]f'(x)=0[/tex] dla [tex]x=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]f'(x)<0[/tex] dla [tex]x[/tex] ∈ [tex](-\infty,0)[/tex] ∪ [tex](0,\frac{1}{2})[/tex]
Zatem funkcja [tex]f[/tex] jest rosnąca w przedziale [tex]<\frac{1}{2},\infty)[/tex] oraz malejąca w przedziale [tex](-\infty,0)[/tex] ∪ [tex](0,\frac{1}{2}>[/tex].
