Rozwiązanie:
Niech [tex]x[/tex] oznacza krótszy bok prostokąta [tex]P_{1}[/tex], wtedy jego dłuższy bok wynosi [tex]2x[/tex]. Niech [tex]y[/tex] oznacza krótszy bok prostokąta [tex]P_{2}[/tex], wtedy jego dłuższy bok wynosi [tex]4y[/tex]. Suma pól powierzchni prostokątów jest równa:
[tex]S=x*2x+y*4y=2x^{2}+4y^{2}[/tex]
Wiemy ponadto, że:
[tex]2(x+2x)+2(y+4y)=172\\3x+5y=86\\3x=86-5y\\x=\frac{86-5y}{3}[/tex]
Wstawiamy tę wartość do sumy pól:
[tex]2(\frac{86-5y}{3})^{2}+4y^{2}=2*\frac{25y^{2}-860y+7396}{9} +4y^{2}=\frac{86y^{2}-1720y+14792}{9}[/tex]
Wartość ten sumy pól musi być najmniejsza, zatem szukamy najmniejszej wartości funkcji:
[tex]S(y)=86y^{2}-1720y+14792[/tex]
Obliczamy najmniejszą wartość tej funkcji:
[tex]p=\frac{1720}{172} =10\\q=S(10)=8600-17200+14792=6192[/tex]
Zatem funkcja przyjmuje minimum globalne dla [tex]y=10[/tex]. Obliczamy szukane długości boków prostokątów:
a) [tex]x=\frac{86-50}{3}=12 cm[/tex]
b) [tex]y=10cm[/tex]
