Szczegółowe wyjaśnienie:
Jeżeli funkcja [tex]f(x)[/tex] jest rosnąca w całej dziedzinie, to musi zachodzić poniższa zależność:
[tex]f'(x)>0[/tex]
Przy czym zakładamy, że funkcja ta jest różniczkowalna w całej swojej dziedzinie oraz, że jej pochodna jest ciągła.
Przeanalizujmy więc pochodną funkcji [tex]g(x)[/tex]:
[tex]g(x)=-f(x)[/tex]
[tex]g'(x)=-f'(x)[/tex]
Również zakładamy, że funkcja jest różniczkowalna i ma ciągłą pochodną.
Skoro [tex]f'(x)>0[/tex] to
[tex]-f'(x)<0[/tex]
Zatem:
[tex]g'(x)<0[/tex]
Czyli funkcja [tex]g(x)[/tex] musi być malejąca w całej swojej dziedzinie.
