Rozwiązanie:
Nie będę tutaj wykonywał rysunku, a tylko powiem co i jak zrobić. Rysujemy równoległobok o bokach [tex]a,b[/tex] takich, że [tex]a>b[/tex]. Oznaczamy przekątne jako [tex]2x[/tex] oraz [tex]2y[/tex]. Wtedy połowy przekątnych mają długości [tex]x[/tex] oraz [tex]y[/tex] odpowiednio. Zaznaczamy kąt [tex]\alpha[/tex] między przekątnymi.
Z twierdzenia cosinusów w odpowiednich trójkątach dostaniemy:
[tex]a^{2}=x^{2}+y^{2}+2xycos\alpha \\b^{2}=x^{2}+y^{2}-2xycos\alpha[/tex]
Te równania należy teraz odjąć stronami, wtedy otrzymamy:
[tex]a^{2} -b^{2}=4xycos\alpha \\4xy=\frac{a^{2} -b^{2}}{cos\alpha }[/tex]
Pole równoległoboku możemy zapisać jako:
[tex]P=\frac{1}{2}*2x*2y*sin\alpha =\frac{1}{2}*4xy sin\alpha[/tex]
Teraz za [tex]4xy[/tex] należy podstawić wcześniej wyliczoną wartość, wtedy otrzymamy:
[tex]P=\frac{1}{2} *\frac{a^{2} -b^{2}}{cos\alpha }*sin\alpha \\P=\frac{1}{2}(a^{2}-b^{2})tg\alpha[/tex]
[tex]q.e.d.[/tex]