Rozwiązanie:
Funkcja różnowartościowa to taka funkcja, dla której dla dowolnych [tex]x_{1},x_{2} \in D_{f}[/tex] takich, że [tex]x_{1}\neq x_{2}[/tex] zachodzi równość:
[tex]f(x_{1})\neq f(x_{2})[/tex]
Zatem, aby wykazać, że funkcja nie jest różnowartościowa, to wystarczy znaleźć dwa takie argumenty [tex]x_{1},x_{2} \in D_{f}[/tex] spełniające warunek [tex]x_{1}\neq x_{2}[/tex], że:
[tex]f(x_{1}})=f(x_{2})[/tex]
lub skorzystać z definicji (dowód nie wprost).
a)
[tex]f(x)=3x[/tex]
Załóżmy, że ta funkcja nie jest różnowartościowa i [tex]x_{1}\neq x_{2}[/tex] wtedy:
[tex]\\f(x_{1})=3x_{1}\\f(x_{2})=3x_{2}\\f(x_{1})=f(x_{2})\\3x_{1}=3x_{2}\\x_{1}=x_{2}[/tex]
Doszliśmy więc do sprzeczności, gdyż z założenia wiemy, że [tex]x_{1}\neq x_{2}[/tex], to dowodzi, że rozważana funkcja jest różnowartościowa. Łatwo sobie wyobrazić tę funkcję - jest to zwykła prosta (funkcja liniowa, która nie jest stała), więc jest różnowartościowa...
b)
[tex]f(x) =|x|[/tex]
Łatwo zauważyć, że taka funkcja nie jest różnowartościowa, gdyż np.:
[tex]f(2)=f(-2)=2[/tex]
c)
[tex]f(x)=x(x-3)[/tex]
Łatwo zauważyć, że taka funkcja nie jest różnowartościowa, gdyż np.:
[tex]f(0)=f(3)=0[/tex]
d)
[tex]f(x)=\sqrt{x-1}[/tex]
[tex]D:x\geq -1[/tex]
Załóżmy, że ta funkcja nie jest różnowartościowa i [tex]x_{1}\neq x_{2}[/tex] wtedy:
[tex]f(x_{1})=\sqrt{x_{1}-1} \\f(x_{2})=\sqrt{x_{2}-1} \\f(x_{1})=f(x_{2})\\\sqrt{x_{1}-1} =\sqrt{x_{2}-1} \\x_{1}=x_{2}[/tex]
Doszliśmy więc do sprzeczności, gdyż z założenia wiemy, że [tex]x_{1}\neq x_{2}[/tex], to dowodzi, że rozważana funkcja jest różnowartościowa.
