Dana jest funkcja : f(x)=x^5/5+x^3+2x+2015 .
Obliczymy pochodną funkcji f :
f'(x)=1/5·5x^4-3x^2+2
f'(x)=x^4-3x^2+2
f'(x)=0
x^4-3x^2+2=0
Podstawiamy : x²=t , t > 0
t²-3t+2=0
Δ=(-3)²-4·1·2=9-8=1 , √Δ=√1=1
t1=(3-1)/2
t1=1
t2=(3+1)/2
t2=2
Stąd : x²=1 ⇔ x²-1=0 ⇔ (x+1)(x-1)=0 ⇔ x+1=0 ∨ x-1=0 ∨ x=-1 ∨ x=1
x²=2 ⇔ x²-2=0 ⇔ (x+√2)(x-√2)=0 ⇔ x=-√2 ∨ x=√2
Odp. D
wyliczam pochodną funkcji:
[tex]f'(x)=x^4-3x^2+2[/tex]
jeśli podstawić
[tex]t=x^2[/tex]
wychodzi nam prosta funkcja kwadratowa:
[tex]f'(t)=t^2-3t+2[/tex]
gdzie rozwiązaniami są:
[tex]t=1 \vee t=2[/tex]
zatem:
[tex]x=1 \vee x=-1 \vee x=\sqrt2 \vee x=-\sqrt2[/tex]
Następnei sprawdzam monotoniczności. Czyli kiedy pchodna jest dodatnia (funkcja jest rosnąca), a kiedy ujemna to malejąca:
[tex]f'(x)>0:\;\;x<-\sqrt2\;\;lub\;\;-1<x<1\;\;lub\;\;x>\sqrt2\\f'(x)<0-\sqrt2<x<-1\;\;lub\;\;1<x<\sqrt2[/tex]
na podstawie powyższych wzorów mamy:
dwa minima lokalne i dwa minima maksymalne.
maksimum w miejscu gdzie funkcja rosnie i potem maleje
a minimum na odwrót
odp. D)