Szczegółowe wyjaśnienie:
Obliczmy wyróżnik:
[tex]\Delta=b^2-4c[/tex]
Skoro funkcja nie ma miejsc zerowych zachodzi zależność:
[tex]\Delta<0\\b^2-4c<0[/tex]
[tex]b^2<4c[/tex]
Z powyższego wynika że wyrażanie [tex]4c[/tex] musi być większe od zero, gdyż nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat jest ujemny. Możemy więc napisać:
[tex]|b|<2\sqrt{c}[/tex]
Rozwiązujemy:
[tex](b<2\sqrt{c})\wedge (b>-2\sqrt{c})[/tex]
Jeżeli wykażemy teraz, że
[tex]2\sqrt{c} \leq 1+c[/tex]
To zakończymy nasz dowód, ponieważ jeżeli [tex]b<2\sqrt{c}[/tex] oraz [tex]2\sqrt{c} \leq 1+c[/tex] to [tex]b<1+c[/tex] , więc:
[tex]-c+2\sqrt{c} -1\leq 0\\-(c-2\sqrt{c} +1)\leq 0\\-(\sqrt{c} -1)^2\leq 0[/tex]
Powyższa nierówność jest zawsze prawdziwa, udowodniliśmy więc, że:
[tex]2\sqrt{c} \leq 1+c[/tex]
A tym samym, że
[tex]b<1+c[/tex]
