Rozwiązywanie równań kwadratowych.
Rozwiązaniem równania jest: [tex]x\in\{-\frac{1}{3},1\}[/tex]
W zadaniu musimy rozwiązać równanie:
[tex]\frac {6x-1}{ 3x-2} = 3x + 2[/tex]
Założenia:
Wiemy, że mianownik nigdy nie może być zerem, zatem musimy założyć, że:
[tex]3x-2\neq 0[/tex]
Zatem:
[tex]3x\neq2\Rightarrow x\neq \frac{2}{3}[/tex]
Pozbywanie się ułamka:
Aby pozbyć się ułamka, pomnożymy równanie obustronnie razy [tex](3x-2)[/tex]:
[tex](6x-1)=(3x+2)(3x-2)[/tex]
Wyrażenie po prawej stronie możemy uprościć korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
[tex](a+b)(a-b)=a^2-b^2[/tex]
Mamy zatem:
[tex](6x-1)=9x^2-4[/tex]
Rozwiązanie równania:
Opuszczamy nawiasy:
[tex]6x-1=9x^2-4[/tex]
Przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę:
[tex]-9x^2+6x-1+4=0[/tex]
[tex]-9x^2+6x+3=0[/tex]
Obliczamy deltę oraz miejsca zerowe:
[tex]\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot (-9)\cdot 3=36+108=144[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta}=\sqrt{144}=12[/tex]
[tex]x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-6-12}{-18}=\frac{-18}{-18}=1[/tex]
[tex]x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-6+12}{-18}=\frac{6}{-18}=-\frac{1}{3}[/tex]
Oba rozwiązania należą do dziedziny, zatem:
[tex]x\in\{-\frac{1}{3},1\}[/tex]
