Rozwiązanie:
Na początku zauważmy, że skoro trójkąt [tex]CDH[/tex] jest równoboczny, to:
[tex]|CD|=|DH|[/tex]
ponieważ [tex]DH[/tex] jest bokiem rombu, to również:
[tex]|DH|=|DE|=|AE|[/tex]
To oznacza, że bok [tex]AC[/tex] trójkąta [tex]ABC[/tex] jest podzielony przez te figury na trzy równe części. Niech [tex]a[/tex] będzie bokiem trójkąta [tex]ABC[/tex], wtedy bok trójkąta i rombów ma długość [tex]\frac{a}{3}[/tex].
Pole trójkąta [tex]CDH[/tex] jest więc równe:
[tex]P_{CDH}=\frac{\frac{a^{2}}{9} \sqrt{3} }{4} =\frac{a^{2}\sqrt{3} }{36}[/tex]
Pole trójkąta [tex]ABC[/tex] jest równe:
[tex]P_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3} }{4}[/tex]
Pole trójkąta [tex]FBH[/tex] jest równe:
[tex]P_{FBH}=\frac{\frac{4}{9}a^{2}\sqrt{3} }{4} =\frac{a^{2}\sqrt{3} }{9}[/tex]
Pole rombu [tex]AFGE[/tex] możemy obliczyć np. odejmując od pola trójkąta [tex]ABC[/tex] pola pozostałych figur:
[tex]2P_{AFGE}=\frac{a^{2}\sqrt{3} }{4}-\frac{\frac{4}{9}a^{2}\sqrt{3} }{4} -\frac{\frac{a^{2}}{9} \sqrt{3} }{4} =\frac{\frac{4}{9}a^{2} \sqrt{3} }{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3} }{9}[/tex]
więc:
[tex]P_{AFGE}=\frac{a^{2}\sqrt{3} }{18}[/tex]
Teraz widać, że:
[tex]P_{AFGE}=2P_{CDH}=\frac{1}{2}P_{FBH}[/tex]
co kończy dowód.
Dodam tylko, że zadanie łatwo można również rozwiązać z podobieństwa.
