Odpowiedź:
[tex]P=3\\A=(-1,0)\\B=(5,0)\\C=(-2,1) \vee C= (6,1)[/tex]
Rozwiązanie:
Rysunek w załączniku.
[tex]x^{2}+y^{2}-4x-8y-5=0\\S=(2,4), r=\sqrt{4+16+5} =5[/tex]
Zauważmy, że skoro bok [tex]AB[/tex] zawiera się w osi [tex]OX[/tex], to odległość środka okręgu od tego boku jest równa rzędnej środka i wynosi [tex]4[/tex]. Jest to również wysokość trójkąta równoramiennego o podstawie [tex]|AB|[/tex]. Stąd od razu wynika, że (trójka Pitagorejska):
[tex]\frac{1}{2}|AB|=3\\|AB|=6[/tex]
Ponadto łatwo wyznaczymy współrzędne punktów [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex], gdyż ich rzędne są równe [tex]0[/tex]:
[tex]A=(x_{A},0)\\B=(x_{B},0)\\[/tex]
Sprowadza się to do znalezienia punktów przecięcia okręgu z osią [tex]OX[/tex]:
[tex]\left \{ {{x^{2}+y^{2}-4x-8y-5=0} \atop {y=0}} \right. \\x^{2}-4x-5=0\\\Delta=16-4*1*(-5)=36\\x_{1}=\frac{4-6}{2}=-1\\x_{2}=\frac{4+6}{2}=5 \\[/tex]
Przyjmijmy, że:
[tex]A=(-1,0)\\B=(5,0)[/tex]
Niech [tex]\angle ACB=\alpha[/tex]. Z twierdzenia sinusów dostaniemy:
[tex]\frac{6}{sin\alpha }=10\\sin\alpha =\frac{3}{5}\\[/tex]
Z jedynki trygonometrycznej:
[tex]cos\alpha =\frac{4}{5}[/tex]
Z twierdzenia cosinusów:
[tex]6^{2}=x^{2}+25x^{2}-2*x*5x*\frac{4}{5}\\36=26x^{2}-8x^{2}=18x^{2}\\x^{2}=2\\x=\sqrt{2}[/tex]
Zatem [tex]|AC|=\sqrt{2}, |BC|=5\sqrt{2}[/tex]. Obliczamy pole trójkąta:
[tex]P=\frac{1}{2}*\sqrt{2}*5\sqrt{2}*\frac{3}{5}=3[/tex]
Łatwo zauważyć, że rzędna punktu [tex]C[/tex] musi wynosić [tex]1[/tex], gdyż:
[tex]P=\frac{1}{2}*|AB|*h=3\\3h=3\\h=1[/tex]
Ponadto wiadomo, że punkt [tex]C[/tex] należy do okręgu, , więc możemy podstawić jego współrzędne i obliczyć odciętą:
[tex]x^{2}+1-4x-8-5=0\\x^{2}-4x-12=0\\\Delta=16-4*1*(-12)=64\\x_{1}=\frac{4-8}{2}=-2\\x_{2}=\frac{4+8}{2}=6[/tex]
Zatem:
[tex]C=(-2,1) \vee C=(6,1)[/tex]
