Rozwiązanie:
[tex]x^{3}-5x^{2}-2x+24=0\\W(3)=27-45-6+24=0[/tex]
Po podzieleniu przez dwumian [tex](x-3)[/tex] dostaniemy:
[tex](x-3)(x^{2}-2x-8)=0\\\Delta=4-4*1*(-8)=36\\x_{1}=\frac{2-6}{2}=-2\\x_{2}=\frac{2+6}{2}=4[/tex]
Pierwiastkami wielomianu są zatem liczby: [tex]-2, 3, 4[/tex]. Każdy z nich jest jednokrotny, więc wielomian faktycznie nie ma pierwiastków dwukrotnych, co kończy dowód.
x³-5x²-2x+24=0
Łatwo sprawdzić,że jednym z pierwiastków równania jest liczba 3.
x²(x-3)-2(x²+x-12)=0 ( * )
x²+x-12=0
Δ=1²-4·1·(-12)=1+48=49 , √Δ=√49=7
x1=(-1-7)/2
x1=-4
x2=(-1+7)/2
x2=3
x²+x-12=0 ⇔ (x+4)(x-3)=0
Czyli równanie ( * ) zapiszemy w postaci : x²(x-3)-2(x+4)(x-3)=0 ⇔ (x-3)(x²-2(x+4))=0 ⇔ (x-3)(x²-2x-8)=0 ⇔ (x-3)(x+2)(x-4)=0 ⇔ x∈{-2,3,4}
x²-2x-8=0
Δ=(-2)²-4·1·(-8)=4+32=36 , √Δ=√36=6
x1=(2-6)/2
x1=-2
x2=(2+6)/2
x2=4