Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
zad 5h
Fakty z zadania :
- u podstawy ostrosłupa trójkąt równoboczny,
- wysokość podstawy = 3,
- wysokości w trójkącie równobocznym dzielą sie w stosunku 2:1 (2 od strony wierzchołka)
- kąt pomiędzy ścianą boczną (wysokością ściany bocznej) a podstawą (1/3 wysokości podstawy) jest równy 60 stopni:
czyli:
a√3/2 = 3
a = 6/√3 = 6√3/3 = 2√3
Pole podstawy = a²√3/4 = 12√3/4 = 3√3
Buduję trójkąt prostokątny składający się z:
- 1/3 wysokości podstawy = 1 (hp) ,
- wysokość ostrosłupa H,
- wysokość ściany bocznej hb
czyli:
H/hp = H/1 = tg 60° = √3
H = √3
hp/hb = cos 60° = 1/2
1/hb = 1/2
hb = 2
Pole ściany bocznej:
Pb = 1/2 * a * hb = 1/2 * 2√3 * 2 = 2√3
Pole całkowite = Pole podstawy + 3*Pole boczne
Pc = 3√3 + 6√3 = 9√3
Objętość ostrosłupa:
V = 1/3 Pole podstawy * H = 1/3 * 3√3 * √3 = 3
zad 6 d
Fakty z zadania:
- u podstawy sześciokąt foremny,
- promień okręgu wpisanego w sześciokąt jest równy wysokości trójkąta równobocznego podstawy (jednego z sześciu), czyli ht = 9
- krawędź boczna = 12
Ponieważ ht = a√3/2 = 9
a = 18/√3 = 18√3/3 = 6√3
Pole jednego trójkąta równobocznego podstawy:
Ptp = a²√3/4 = 108√3/4 = 27√3
Pole podstawy sześciokąta = 6 * Pp = 6 * 27√3 = 162√3
Buduję trójkąt prostokątny składający sie z:
- bok trójkąta podstawy a = 6√3
- krawędź ostrosłupa k = 12,
- wysokość ostrosłupa H
czyli z tw Pitagorasa:
a² + H² = k²
H² = 144 - 108 = 36
H = 6
Dla obliczenia wysokości ściany bocznej hb korzystam z tw Pitagorasa:
(a/2)² + hb² = k²
(3√3)² + hb² = 144
hb² = 144 - 27 = 117
hb = √117 = 3√13
Pole 1 trójkąta bocznego
Ptb = 1/2 a* hb = 1/2 * 6√3 * 3√13 = 9√39
Pole ścian bocznych:
Pb = Ptb * 6 = 54√39
Pole całkowite:
Pc = Pp + Pb = 162√3 + 54√39 = 54√3(3 + √13)
Objętość :
V = 1/3 Pp * H = 1/3 * 162√3 * 6 = 324√3
zad 6 e
Fakty:
- krawędź boczna k = 8,
- krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy (ramieniem trójkąta równobocznego podstawy, a właściwie promieniem okręgu opisanego na sześciokącie)) kąt 60 stopni
Buduje trójkąt prostokątny z:
- "a" podstawy,
- wysokość H ostrosłupa,
- krawędź boczna = 8
czyli:
a/k = cos 60° = √3
a = 8√3
pole jednego trójkąta podstawy:
Ptp = a²√3/4 = 192√3/4 = 48√3
Pole podstawy:
Pp = 6 * Ptp = 6 * 48√3 = 288√3
H/k = sin 60° = √3/2
H = 4√3
Wysokość ściany bocznej hb z tw Pitagorasa:
hb² + (a/2)² = k²
hb² = 64 - 48 = 16
hb = 4
Pole boczne:
Pb = 6 * 1/2 * 8√3 * 4 = 96√3
Pole całkowite:
Pc = Pp + Pb = 288√3 + 96√3 = 384√3
Objętość:
V = 1/3 * Pp * H = 1/3 * 288√3 * 4√3 = 1152
o matko ile liczenia !, mam nadzieję, że się nie pomyliłem, sprawdź proszę :)
