Rozwiązanie:
[tex]O:(x+3)^{2}+y^{2}=25\\l:y=\frac{1}{2}x+4[/tex]
Odległość punktu od prostej oblicza się ze wzoru:
[tex]d=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}} }[/tex]
gdzie [tex]Ax+By+C=0[/tex] jest równaniem prostej w postaci ogólnej, a punkt ma współrzędne [tex](x_{0},y_{0})[/tex]. W naszym przypadku punktem tym jest środek okręgu. Wyznaczamy środek okręgu:
[tex]S=(-3,0)[/tex]
Promień okręgu jest równy [tex]r=\sqrt{25} =5[/tex].
Przekształcamy prostą do postaci ogólnej:
[tex]y=\frac{1}{2}x+4 \\2y=x+8\\x-2y+8=0[/tex]
Zatem w tym zadaniu mamy:
[tex]A=1\\B=-2\\C=8\\x_{0}=-3\\y_{0}=0[/tex]
Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy szukaną odległość:
[tex]d=\frac{|-3+0+8|}{\sqrt{1+4} }= \frac{5}{\sqrt{5} } =\frac{5\sqrt{5} }{5}=\sqrt{5}[/tex]
Mamy jeszcze określić wzajemne położenie tego okręgu i danej prostej. Jak to robimy? Wystarczy zbadać zależność pomiędzy promieniem, a odległością. W tym przypadku:
[tex]5>\sqrt{5}\\r>d[/tex]
zatem prosta przecina okrąg dokładnie w dwóch punktach.
