Odpowiedź :
Najpierw należy wyznaczyć równania ciągów liczbowych, które wyznaczają podane szeregi skończone. To są te tak zwane "reguły do odgadnięcia":
[tex]\{5-4,25-8,125-16,\cdots\}:a_n=5^n-2*2^n\\\\\{3-1,9-4,27-7,\cdots\}:a_n=3^n-(3n-2)\\\\\left\{3+2,6+1,9+\frac{1}{2}\right\}:a_n=3n+4\left(\frac{1}{2}\right)^n\\\\\{\frac{3}{2},\frac{5}{4},\frac{9}{8},\frac{17}{16},\frac{33}{32},\cdots\}:a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n+1[/tex]
Jak widać, równania tych ciągów to sumy i różnice różnych ciągów algebraicznych, geometrycznych i stałych. Teraz trzeba znaleźć rozmiar każdego szeregu. Wystarczy użyć jednego ze składników równania:
[tex]2*2^n=2^8\\2^{n+1}=2^8\ |\log_2\\n+1=8\\n=7\\\\3^n=3^{10}\ |\log_{10}\\n=10\\\\3n=30\ |:3\\n=10\\\\\left(\frac{1}{2}\right)^n=\left(\frac{1}{2}\right)^9\ |\log_\frac{1}{2}\\n=9[/tex]
Sumy szeregów można teraz obliczyć za pomocą wzorów na sumę częściową ciągu:
- arytmetycznego ([tex]a_n=a_1+r(n-1)[/tex]): [tex]S_n=\cfrac{a_1+a_n}{2}*n[/tex]
- geometrycznego ([tex]a_n=a_1*q^{n-1}[/tex]): [tex]S_n=\cfrac{1-q^n}{1-q}*a_1,\ q\not=1[/tex]
- stałego ([tex]a_n=a_1[/tex]): [tex]S_n=a_1*n[/tex]
a)
[tex]a_n=5^n\implies\begin{cases}a_1=5^1=5\\q=\cfrac{5^{n+1}}{5^n}=5^{n+1-1}=5^1=5\end{cases}\\a_n=2*2^n\implies\begin{cases}a_1=2*2^1=2*2=4\\q=\cfrac{2*2^{n+1}}{2*2^n}=\cfrac{2^{n+2}}{2^{n+1}}=2^{n+2-(n+1)}=2^1=2\end{cases}\\\\S_7\left(5^n-2*2^n\right)=\cfrac{1-5^7}{1-5}*5-\cfrac{1-2^7}{1-2}*4=\\=\cfrac{-78124}{-4}*5-\cfrac{-127}{-1}*4=19531*5-127*4=97655-508=97147[/tex]
b)
[tex]a_n=3^n\implies\begin{cases}a_1=3^1=3\\q=\cfrac{3^{n+1}}{3^n}=3^{n+1-1}=3^1=3\end{cases}\\a_n=3n-2\implies\begin{cases}a_1=3*1-2=3-2=1\\a_{10}=3*10-2=30-2=28\\k=(3(n+1)-2)-(3n-2)=3n+3-2-3n+2=3\end{cases}\\S_{10}\left(3^n-(3n-2)\right)=\cfrac{1-3^{10}}{1-3}*3-\cfrac{1+28}{2}*10=\\=\cfrac{-59048}{-2}*3-\cfrac{29}{2}*10=29524*3-14.5*10=88572-145=88427[/tex]
c)
[tex]a_n=3n\implies\begin{cases}a_1=3*1=3\\a_{10}=3*10=30\\k=3(n+1)-3n=3n+3-3n=3\end{cases}\\a_n=4*\left(\frac{1}{2}\right)^n\implies\begin{cases}a_1=4*\left(\frac{1}{2}\right)^1=4*\left(\frac{1}{2}\right)=2\\q=\cfrac{4*\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{4*\left(\frac{1}{2}\right)^n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1-n}=\frac{1}{2}^1=\frac{1}{2}\end{cases}\\[/tex]
[tex]S_{10}\left(3n+4*\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)=+\cfrac{3+30}{2}*10+\cfrac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1-\frac{1}{2}}*2=\cfrac{33}{2}*10+\cfrac{1-\frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}}*2=\\=16.5*10+\cfrac{\frac{1023}{1024}}{\frac{1}{2}}*2=165+\cfrac{1023}{1024}*4=165+\cfrac{1023}{256}=168\cfrac{255}{256}[/tex]
d)
[tex]a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n\implies\begin{cases}a_1=\left(\frac{1}{2}\right)^1=\frac{1}{2}\\q=\cfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\left(\frac{1}{2}\right)^n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1-n}=\left(\frac{1}{2}\right)^1=\frac{1}{2}\end{cases}\\a_n=1\implies a_1=1\\\\S_9\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n+1\right)=\cfrac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^9}{1-\frac{1}{2}}*\frac{1}{2}+1*9=\cfrac{1-\frac{511}{512}}{\frac{1}{2}}*\frac{1}{2}+9=1-\frac{511}{512}+9=9\frac{511}{512}[/tex]
