Rozwiązanie:
[tex]k \in \mathbb{Z}[/tex]
[tex]2k^{4}-4k^{3}-2k^{2}+4k=2k(k^{3}-2k^{2}-k+2)[/tex]
Niech [tex]W(k)=k^{3}-2k^{2}-k+2[/tex]. Znajdźmy pierwiastki tego wielomianu, szukać będziemy wśród dzielników wyrazu wolnego:
[tex]W(1)=1-2-1+2=0\\W(2)=8-8-2+2=0\\W(-1)=-1-2+1+2=0[/tex]
Zatem postać iloczynowa tego wielomianu, to:
[tex](k+1)(k-1)(k-2)[/tex]
Zatem podane w zadaniu wyrażenia ma postać:
[tex]2k(k+1)(k-1)(k-2)=2*(k-2)(k-1)k(k+1)[/tex]
Łatwo zauważyć, że ta liczba na pewno jest podzielna przez [tex]2[/tex]. Ponadto zauważmy, że [tex](k-2)(k-1)k(k+1)[/tex] to iloczyn czterech kolejnych liczb całkowitych, wśród których jest dokładnie jedna liczba podzielna przez [tex]4[/tex], co najmniej jedna podzielna przez [tex]3[/tex] oraz dokładnie dwie podzielne przez [tex]2[/tex] (w tym jedna przez [tex]4[/tex]). Zatem cała liczba jest podzielna przez [tex]2*2*3*4=48[/tex], co kończy dowód.