Odpowiedź:
Witam! Wszystkie tego typu zadania rozwiązuje się poprzez złożenie danych wielomianów do pewnego kwadratu, a reszta to już zwykłe przekształcenia, bazujące na wzorach skróconego mnożenia:
a) \begin{gathered}x^4+16=x^4+2^4=(x^2+2^2)^2-2x^2\cdot 2^2=\\=(x^2+2^2)^2-x^2 2^3=(x^2+2^2)^2-(2^{\frac{3}{2}}x)^2=\\=(x^2+2^2+2^{\frac{3}{2}}x)(x^2+2^2-2^{\frac{3}{2}}x)=\\=(x^2+2\sqrt{2}x+4)(x^2-2\sqrt{2}x+4)\end{gathered}
x
4
+16=x
4
+2
4
=(x
2
+2
2
)
2
−2x
2
⋅2
2
=
=(x
2
+2
2
)
2
−x
2
2
3
=(x
2
+2
2
)
2
−(2
2
3
x)
2
=
=(x
2
+2
2
+2
2
3
x)(x
2
+2
2
−2
2
3
x)=
=(x
2
+2
2
x+4)(x
2
−2
2
x+4)
b) \begin{gathered}x^4+25=x^4+(\sqrt{5})^4=(x^2+\sqrt{5}^2)^2-2x^2\cdot \sqrt{5}^2=\\=(x^2+\sqrt{5}^2)^2-10x^2=(x^2+5)^2-(\sqrt{10}x)^2=\\=(x^2+\sqrt{10}x+5)(x^2-\sqrt{10}x+5)\end{gathered}
x
4
+25=x
4
+(
5
)
4
=(x
2
+
5
2
)
2
−2x
2
⋅
5
2
=
=(x
2
+
5
2
)
2
−10x
2
=(x
2
+5)
2
−(
10
x)
2
=
=(x
2
+
10
x+5)(x
2
−
10
x+5)
c) x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)x
4
+x
2
+1=(x
2
+1)
2
−x
2
=(x
2
+x+1)(x
2
−x+1)
d) \begin{gathered}x^4-x^2+1=(x^2+1)^2-3x^2=(x^2+1)^2-(\sqrt{3}x)^2=\\=(x^2+\sqrt{3}x+1)(x^2-\sqrt{3}x+1)\end{gathered}
x
4
−x
2
+1=(x
2
+1)
2
−3x
2
=(x
2
+1)
2
−(
3
x)
2
=
=(x
2
+
3
x+1)(x
2
−
3
x+1)
