Rozwiązanie:
Zadanie 22.
[tex]a,b \in \mathbb{R}[/tex]
[tex]a^{2}+b^{2}\geq 2(a+b-1)\\a^{2}+b^{2}\geq 2a+2b-2\\a^{2}-2a+1+b^{2}-2b+1\geq 0\\(a-1)^{2}+(b-1)^{2}\geq 0[/tex]
Ta nierówność jest oczywiście prawdziwa, gdyż po lewej stronie mamy sumę kwadratów liczb rzeczywistych, która jest zawsze nieujemna, co kończy dowód.
Zadanie 23.
[tex]a,b \in \mathbb{R}\\[/tex]
Założenie:
[tex](a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}\\a^{2}+2ab+b^{2}=a^{2}+b^{2}\\2ab=0\\ab=0[/tex]
Iloczyn dwóch liczb rzeczywistych wynosi [tex]0[/tex] wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest zerem (lub obie są zerami oczywiście). Zatem:
[tex]a=0 \vee b=0[/tex]
co kończy dowód.
