Rozwiązanie:
Zadanie 8.267
[tex]W(x)=x^{3}+2px^{2}+4px+8=0[/tex]
Spróbujmy znaleźć pierwiastek takiego wielomianu. Będziemy go szukać wśród dzielników wyrazu wolnego:
[tex]W(-2)=-8+8p-8p+8=0[/tex]
Teraz należy podzielić ten wielomian przez dwumian [tex](x+2)[/tex]. Gdy to zrobimy, otrzymamy:
[tex]W(x)=(x+2)(x^{2}+(2p-2)x+4)[/tex]
Jedno rozwiązanie już mamy i jest nim [tex]x=-2[/tex]. Równanie ma mieć dwa rozwiązania, zatem należy rozpatrzyć następujące przypadki:
1) trójmian ma dokładnie jeden pierwiastek różny od [tex]-2[/tex] :
[tex]x^2+(2p-2)x+4=0\\\Delta=4p^{2}-8p+4-4*4=4p^{2}-8p-12\\\Delta=0\\4p^{2}-8p-12=0\\p^{2}-2p-3=0\\\Delta_{p}=4-4*1*(-3)=16\\p_{1}=\frac{2-4}{2}=-1\\p_{2}=\frac{2+4}{2}=3[/tex]
Pierwiastek tego trójmianu wynosi wówczas:
Dla [tex]p=-1[/tex] :
[tex]x_{0}=\frac{-2*(-1)+2}{2}=2[/tex]
Dla [tex]p=3[/tex] :
[tex]x_{0}=\frac{(-2)*3+2}{2}=-2[/tex]
Zatem rozwiązanie [tex]p=3[/tex] musimy odrzucić.
2) trójmian ma dwa pierwiastki, a jeden z nich jest równy [tex]-2[/tex] :
[tex]\Delta=4p^{2}-8p-12\\\Delta>0\\p \in (-\infty,-1)\cup(3,\infty)\\x_{1}=\frac{2-2p-\sqrt{4p^{2}-8p-12} }{2} \\x_{2}=\frac{2-2p+\sqrt{4p^{2}-8p-12} }{2}[/tex]
Dla [tex]x_{1},x_{2}=-2[/tex] mamy [tex]p=3[/tex].
Zatem jedyną wartością parametru [tex]p[/tex], która spełnia warunki zadania jest:
[tex]p=-1[/tex]
