Rozwiązanie:
Zadanie 8.
Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy [tex]f'(x_{0})[/tex]. W tym przypadku:
[tex]f(x)=\frac{\sqrt{3} }{12}x^{2}\\x_{0}=2 \\f'(x)=\frac{\sqrt{3} }{6} x\\f'(x_{0})=a=f'(2)=\frac{\sqrt{3} }{3}[/tex]
Styczna do wykresu funkcji w punkcie [tex](x_{0},f(x_{0}))[/tex] ma postać:
[tex]y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})[/tex]
Zatem:
[tex]y=\frac{\sqrt{3} }{3} (x-2)+\frac{\sqrt{3} }{3} =\frac{\sqrt{3} }{3} x-\frac{\sqrt{3} }{3}[/tex]
Tangens kąta nachylenia prostej do osi [tex]OX[/tex] jest równy współczynnikowi kierunkowemu, więc:
[tex]tg\alpha =\frac{\sqrt{3} }{3}\\\alpha =30[/tex]
Zadanie 9.
[tex]f(x)=\frac{1}{x}\\f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}[/tex]
Zatem:
[tex]-\frac{1}{x^{2}} =-\frac{9}{16}\\9x^{2}=16\\x^{2}=\frac{16}{9}\\x=\frac{4}{3}[/tex]
Zadanie 10.
a)
[tex]f(x)=\frac{4}{x-3} \\f'(x)=\frac{-4}{(x-3)^{2}}[/tex]
b)
[tex]f(x)=3x^{4}-5x^{2}+4x+8\\f'(x)=12x^{3}-10x+4[/tex]
Zadanie 11.
[tex]f(x)=\frac{2-x}{3x}\\D: x\neq 0\\f'(x)=\frac{-3x-3(2-x)}{9x^{2}} =\frac{-6}{9x^{2}}=-\frac{2}{3x^{2}} \\D': x\neq 0[/tex]
Zadanie 12.
Niech boki prostokąta mają długości [tex]x,y[/tex]. Wtedy:
[tex]2(x+y)=16\\x+y=8\\y=8-x[/tex]
Przyjmijmy, że prostokąt będzie obracany wokół osi przechodzącej przez dłuższy bok. Wówczas wysokość walca jest równa [tex]x[/tex], a promień podstawy wynosi [tex]r=8-x[/tex]. Zatem objętość walca jest równa:
[tex]V(x)=\pi (8-x)^{2}*x=\pi x(x^{2}-16x+64)=\pi (x^{3}-16x^{2}+64x)[/tex]
Wyznaczamy dziedzinę tej funkcji:
Musimy założyć, że promień i wysokość są większe od zera:
[tex]x>0 \wedge 8-x>0\\0<x<8\\D: x \in (0,8)\\[/tex]
Teraz obliczamy pochodną funkcji objętości:
[tex]V'(x)=\pi (3x^{2}-32x+64)[/tex]
Obliczamy jej miejsca zerowe:
[tex]V'(x)=0 \iff 3x^{2}-32x+64=0\\\Delta=1024-4*3*64=256\\x_{1}=\frac{32-16}{6}=\frac{8}{3} \\x_{2}=\frac{32+16}{6} =8 \notin D[/tex]
Szkicujemy wykres pochodnej (załącznik) i odczytujemy, że:
[tex]V'(x)>0 \ dla \ x \in (0,\frac{8}{3} )\\V'(x)=0 \ dla \ x=\frac{8}{3}\\V'(x)<0 \ dla \ x \in (\frac{8}{3},8)\\[/tex]
To oznacza, że [tex]V(x)[/tex] rośnie dla [tex]x \in (0,\frac{8}{3})[/tex] i maleje dla [tex]x \in (\frac{8}{3},8)[/tex]. Stąd wnioskujemy, że funkcja przyjmuje maksimum lokalne dla [tex]x=\frac{8}{3}[/tex]. Wówczas wymiary rozważanego prostokąta mają długości:
[tex]x=\frac{8}{3}\\y=\frac{16}{3}[/tex]
