Równanie ma 2 różne pierwiastki dodatnie gdy :
[tex]a \neq 0 \\ \Delta > 0\\ x_{1}+x _{2} >0\\ x _{1} \cdot x _{2} >0[/tex]
[tex]x^2 - 2ax + a^3 - 2a = 0[/tex]
1.
[tex]a=1 \neq 0[/tex]
2.
[tex]\Delta>0[/tex]
[tex]\Delta=(-2a)^2-4\cdot1\cdot(a^3-2a)=4a^2-4a^3+8a[/tex]
[tex]-4a^3+4a^2+8a>0\ \ \ |:(-4)[/tex]
[tex]a^3-a^2-2a<0[/tex]
[tex]a(a^2-a-2)<0[/tex]
[tex]a(a^2+a-2a-2)<0[/tex]
[tex]a[a(a+1)-2(a+1)]<0[/tex]
[tex]a(a+1)(a-2)<0[/tex]
[tex]a\in(-\infty;-1)\cup(0;2)[/tex]
3.
[tex]x _{1} +x _{2} >0[/tex]
[tex]x _{1} + x _{2} =-\frac{b}{a}[/tex]
[tex]-\frac{- 2a}{1}>0[/tex]
[tex]2a>0\ \ \ |:2[/tex]
[tex]a>0[/tex]
[tex]a\in(0;+\infty)[/tex]
4.
[tex]x_1\cdot x_2>0[/tex]
[tex]x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}[/tex]
[tex]\frac{a^3 - 2a}{1}>0[/tex]
[tex]a^3 - 2a>0[/tex]
[tex]a(a^2-2)>0[/tex]
[tex]a(a+\sqrt2)(a-\sqrt2)>0[/tex]
[tex]a\in(-\sqrt2;0)\cup(\sqrt2;+\infty)[/tex]
Z 1,2,3 i 4
[tex]a\in(\sqrt2;2)[/tex]