Rozwiązanie:
[tex]f(x)=\frac{4x^{2}}{x^{2}+1} \\<0,2>[/tex]
Obliczamy pochodną funkcji:
[tex]f'(x)=\frac{8x(x^{2}+1)-2x*4x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{8x^{3}+8x-8x^{3}}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{8x}{(x^{2}+1)^{2}}[/tex]
Obliczamy miejsca zerowe pochodnej:
[tex]f'(x)=0 \iff 8x=0\\x=0[/tex]
Szkicujemy wykres pochodnej (załącznik) i odczytujemy:
[tex]f'(x)>0 \ dla \ x \in (0,\infty)\\f'(x)=0 \ dla \ x=0\\f'(x)<0 \ dla \ x \in (-\infty,0)[/tex]
To oznacza, że [tex]f(x)[/tex] rośnie dla [tex]x \in (0,\infty)[/tex] i
[tex]f(0)=0[/tex]
Skoro funkcja jest rosnąca w rozważanym przedziale, to największą wartością tej funkcji w tym przedziale jest:
[tex]f(2)=\frac{16}{5}[/tex]
