Rozwiązanie:
[tex]sin^{2}2x+1=7cos^{2}(\frac{3\pi }{2} -x)[/tex]
Na początek zauważmy, że:
[tex]cos^{2}(\frac{3\pi }{2}-x)=(-sinx)^{2}=sin^{2}x[/tex]
Zatem:
[tex]sin^{2}2x+1=7sin^{2}x\\4sin^{2}xcos^{2}x+1=7sin^{2}x\\4sin^{2}x(1-sin^{2}x)+1=7sin^{2}x\\-4sin^{4}x+4sin^{2}x+1-7sin^{2}x=0\\-4sin^{4}x-3sin^{2}x+1=0[/tex]
Teraz użyjemy podstawienia, niech [tex]t=sin^{2}x[/tex], gdzie [tex]t \in <0,1>[/tex]:
[tex]-4t^{2}-3t+1=0\\\Delta=9-4*(-4)*1=25\\t_{1}=\frac{3+5}{-8} =-1 \notin D\\t_{2}=\frac{3-5}{-8}=\frac{1}{4}[/tex]
Zatem:
[tex]sin^{2}x=\frac{1}{4}\\sin^{2}x-\frac{1}{4}=0\\(sinx-\frac{1}{2} )(sinx+\frac{1}{2})=0\\sinx=-\frac{1}{2} \vee sinx=\frac{1}{2} \\x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi \vee x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi \vee x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \vee x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/tex]
Uwzględniamy przedział i dostajemy:
[tex]x \in [-\frac{11\pi }{6}, -\frac{7\pi }{6} ,-\frac{5\pi }{6},-\frac{\pi }{6}, \frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}, \frac{7\pi }{6}, \frac{11\pi }{6}][/tex]
