Odpowiedź:
[tex]f(x) = 3(x + 1)^{2} - 1\frac{1}{3}[/tex] - KANONICZNA
Jest to postać kanoniczna, której wzór wygląda tak:
f(x) = a(x - p)² + q
Więc:
a = 3
p = -1 (we wzorze p jest na minusie, więc aby jedynka była dodatnia we wzorze sama musi być ujemna - minus i minus daje minus)
[tex]q = - 1\frac{1}{3}[/tex] (tutaj natomiast - plus i minus daje minus)
Wierzchołek ma współrzędne wyglądające tak:
W = (p, q) - wystarczy więc tylko podłożyć
W = [tex](-1, -1\frac{1}{3})[/tex] - WIERZCHOŁEK
Teraz należy zamienić postać z kanonicznej na ogólną.
KANONICZNA ⇒ OGÓLNA
f(x) = a(x - p) + q ⇒ ax² + bx + c
[tex]f(x) = 3(x + 1)^{2} - 1\frac{1}{3} \\(( (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}))\\f(x) = 3(x^{2} + 2x + 1) - 1\frac{1}{3} \\f(x) = 3x^{2} + 6x + 3 - 1\frac{1}{3} \\f(x) = 3x^{2} + 6x + 1\frac{2}{3}[/tex]- OGÓLNA
Tutaj na podstawie wzoru możemy wyznaczyć współczynniki
ax² + bx + c
a = 3
b = 6
c = [tex]1\frac{2}{3}[/tex]
Teraz zamieniamy z postaci ogólnej na iloczynową.
OGÓLNA ⇒ ILOCZYOWA
Trzeba najpierw określić jak wygląda wzór postaci iloczynowej - zależy to od ilości miejsc zerowych.
Δ > 0 ⇒ 2 miejsca zerowe ⇒ x₁ = (-b - √Δ)/2a ; x₂ = (-b + √Δ)/2a ⇒
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
Δ < 0 ⇒ Brak miejsc zerowych ⇒ Brak wzoru
Δ = 0 ⇒ 1 miejsce zerowe ⇒ f(x) = a(x - x₀)
Δ - delta/ wyróżnik funkcji kwadratowej
Wzór na deltę:
Δ = b² - 4ac
Podkładamy pod wzór:
Δ = 6² - 4 × 3 × [tex]\frac{5}{3}[/tex] = 36 - 20 = 16
Δ > 0
√Δ = 4
Liczymy miejsca zerowe
x₁ = [tex]\frac{-6 - 4}{2* 3} = \frac{-10}{6} = \frac{-5}{3}[/tex]
x₂ = [tex]\frac{-6+4}{2*3} = \frac{-2}{6} = \frac{-1}{3}[/tex]
Teraz podkładamy pod wzór
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
[tex]f(x) = 3(x + \frac{5}{3})(x + \frac{1}{3})[/tex] - ILOCZYNOWA
Szczegółowe wyjaśnienie:
