Odpowiedź :
Odpowiedź:
Zadanie 1.
[tex](x-5)^2+(y-5)^2=25^2[/tex]
Zadanie 2.
[tex]15660[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zadanie 1
Ogólne równanie okręgu:
[tex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2[/tex]
W naszym przypadku:
[tex](x-5)^2+(y-5)^2=r^2[/tex]
Wiemy, że prosta ma dwa punkty wspólne z naszym okręgiem, są one rozwiązaniem poniższego układu:
[tex]\left \{ {{(x-5)^2+(y-5)^2=r^2} \atop {3x-4y-70=0}} \right.[/tex]
Dodatkowo wiemy, że punkty są od siebie oddalone o 40 jednostek
[tex]40=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/tex]
Rozwiązujemy układ równań (r jako parametr):
[tex]\left \{ {{x^2-10x+25+y^2-10y+25=r^2} \atop {y=\frac{3}{4}x-\frac{70}{4} }} \right. \\\left \{ {{x^2-10x+y^2-10y=r^2-50} \atop {y=\frac{3}{4}x-\frac{70}{4} }}} \right.[/tex]
Wstawiamy za [tex]y[/tex] do pierwszego równania:
[tex]x^2-10x+\frac{9}{16} x^2-\frac{105}{4} x+\frac{1225}{4} -\frac{30}{4} x+\frac{700}{4} =r^2-50\\\frac{25}{16} x^2-\frac{175}{4} x+\frac{2125}{4} -r^2=0[/tex]
[tex]\Delta=\frac{25r^2-5625}{4}[/tex]
[tex]x_1=14-\frac{4\sqrt{r^2-225} }{5} \\x_2=14+\frac{4\sqrt{r^2-225} }{5}[/tex]
Wracamy do drugiego równania:
[tex]y_1=-\frac{3}{5} \sqrt{r^2-225} -7\\\\y_2=\frac{3}{5} \sqrt{r^2-225} -7[/tex]
Teraz wstawiamy do równania na długość odcinka:
[tex]40=\sqrt{(\frac{8}{5}\sqrt{r^2-225})^2+ (\frac{6}{5}\sqrt{r^2-225})^2 } \\40=\sqrt{\frac{64}{25} r^2-576+\frac{36}{25}r^2-324 }\\ 40=\sqrt{4r^2-900}[/tex]
Podnosimy obustronnie do kwadratu:
[tex]1600=4r^2-900\\4r^2=2500\\r^2=625\\r_1=-25 \notin \mathbb{D}\\r_2=25[/tex]
Zatem równanie naszego okręgu ma postać:
[tex](x-5)^2+(y-5)^2=25^2[/tex]
A promień ma wartość [tex]r=25[/tex]
Zadanie 2
Korzystamy z tego, że [tex]\mathbb{Z_+}=\mathbb{N}[/tex]. Analizujemy zatem liczby pięciocyfrowe parzyste. Rozkładamy na dwa warunki i analizujemy każdy osobno. Najpierw liczby posiadające jedną cyfrę 5:
Wszystkich cyfr pięciocyfrowych parzystych jest:
[tex]9\cdot10\cdot10\cdot10\cdot5=45000[/tex]
Gdy cyfra 5 jest na pierwszym miejscu:
[tex]1\cdot9\cdot9\cdot9\cdot5=3645[/tex]
Gdy cyfra 5 jest na drugim miejscu:
[tex]8\cdot1\cdot9\cdot9\cdot5=3240[/tex]
Gdy cyfra 5 jest na trzecim miejscu:
[tex]8\cdot9\cdot1\cdot9\cdot5=3240[/tex]
Gdy cyfra 5 jest na czwartym miejscu:
[tex]8\cdot9\cdot9\cdot1\cdot5=3240[/tex]
W sumie:
[tex]3645+3\cdot3240=13365[/tex]
Teraz dwie cyfry 5:
Gdy cyfra 5 jest na pierwszym i drugim miejscu:
[tex]1\cdot1\cdot9\cdot9\cdot5=405[/tex]
Gdy cyfra 5 jest na pierwszym i trzecim miejscu:
[tex]1\cdot9\cdot1\cdot9\cdot5=405[/tex]
Gdy cyfra 5 jest na pierwszym i czwartym miejscu:
[tex]1\cdot9\cdot9\cdot1\cdot5=405[/tex]
Gdy cyfra 5 jest na drugim i trzecim miejscu:
[tex]8\cdot1\cdot1\cdot9\cdot5=360[/tex]
Gdy cyfra 5 jest na drugim i czwartym miejscu:
[tex]8\cdot1\cdot9\cdot1\cdot5=360[/tex]
Gdy cyfra 5 jest na trzecim i czwartym miejscu:
[tex]8\cdot9\cdot1\cdot1\cdot5=360[/tex]
W sumie:
[tex]3\cdot405+3\cdot360=2295[/tex]
A zatem wszystkich liczb spełniających warunek zadania jest:
[tex]13365+2295=15660[/tex]
