Odpowiedź:
Największy iloczyn: [tex]64[/tex]
Najmniejsza suma kwadratów: [tex]128[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zapiszmy te dwie liczby następująco:
[tex]x+y=16[/tex]
Wyznaczmy jedną z liczb:
[tex]y=16-x[/tex]
1. Teraz poszukamy największego iloczynu tych dwóch liczb. Wartości maksymalne i minimalne oznaczają konieczność liczenia ekstremów. Jednak po kolei, zapiszmy iloczyn tych dwóch liczb:
[tex]x\cdot y=x\cdot (16-x)=-x^2+16x[/tex]
Szukamy więc wartości maksymalnej dla wyrażenia: [tex]-x^2+16x[/tex]. Wiemy, że ona istnieje, gdyż jest to funkcja kwadratowa o ramionach skierowanych w dół, wystarczy wyznaczyć jej ekstremum (wierzchołek):
[tex]\frac{d}{dx} (-x^2+16x)=-2x+16[/tex]
[tex]-2x+16=0\\x=8[/tex]
Wyznaczamy wartość naszego wyrażenia dla [tex]x=8[/tex]
[tex]-8^2+16\cdot8=64[/tex]
Zatem największy iloczyn jaki mogą przyjąć te liczby to [tex]64[/tex] i ma to miejsce dla [tex]x=8[/tex] oraz [tex]y=8[/tex] (gdyż [tex]y=16-x=16-8=8[/tex]).
2. Teraz najmniejsza wartość sumy kwadratów. Zapiszmy sumę kwadratów tych liczb:
[tex]x^2+y^2=x^2+(16-x)^2=x^2+256-32x+x^2=2x^2-32x+256[/tex]
Szukamy więc wartości minimalnej wyrażenia: [tex]2x^2-32x+256[/tex]. Wiemy, że wartość taka istnieje (parabola z ramionami skierowanymi ku górze). Liczymy tę wartość:
[tex]\frac{d}{dx} (2x^2-32x+256)=4x-32[/tex]
[tex]4x-32=0\\x=8[/tex]
Wyznaczamy wartość wyrażenia dla [tex]x=8[/tex]:
[tex]2\cdot8^2-32\cdot8+256=128[/tex]
Zatem najmniejsza suma kwadratów tych liczb to [tex]128[/tex] i ma to miejsce dla [tex]x=8[/tex] oraz [tex]y=8[/tex] (gdyż [tex]y=16-x=16-8=8[/tex]).
