Szczegółowe wyjaśnienie:
Są to działania z rachunku całkowego. Całka pojedyncza (taka jak tutaj) jest interpretowana jako pole pod wykresem (z ograniczeniem osią OX). Wycinek elementarny takiego pola (o nieskończenie małej szerokości) oznaczamy jako [tex]dx[/tex]. Jest to działanie odwrotne do różniczkowania - polega na znalezieniu funkcji pierwotnej jakiejś różniczki np.:
[tex]f(x)=x^2\\\\\frac{d}{dx} f(x)=2x\\\\\int} \,2x dx =2\int} \,x dx=2\frac{x^2}{2} +C=x^2+C; \ C\in \mathbb{R}[/tex]
Dla całek nieoznaczonych (takich jak tu) dodajemy stałą całkowania, gdyż każda różniczka ma w gruncie rzeczy nieskończoną liczbę funkcji pierwotnych zależną od wyrazu wolnego. Wyrazy, które nie zależą od zmiennej po której całkujemy, możemy zawsze wyłączyć przed znak całkowania.
Przedstawione tutaj metody obliczeniowe nazywają się podstawieniem, polegają one na sprowadzeniu funkcji podcałkowej, do takiej, której całki są określone w tablicach wzorów. Przedstawione podstawienia nie mają żadnego sensu, gdyż niczego nie upraszczają. Nie istnieje schemat (jak np.: dla rozwiązywania trójmianów kwadratowych), który określa co należy podstawić, by uprościć funkcję podcałkową (z wyjątkiem podstawień Eulera - jednak są to ściśle określone przypadki związane właśnie z trójmianami kwadratowymi).
Oprócz podstawiania istnieje także metoda całkowania przez części, którą opisuje poniższy wzór:
[tex]\int f(x)\cdot g'(x) \, dx =f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x)\, dx[/tex]
Metoda ta również pozwala na uproszczenie funkcji podcałkowych do takich, na które istnieją wzory. Należy jedynie zauważyć, że funkcja podcałkowa składa się z iloczynu pewnej funkcji i pochodnej innej funkcji. Taką właśnie metodę należało by stosować w tych przykładach.
Oczywiście powyższe metody można ze sobą łączyć i wykorzystywać kilkukrotnie dla jednej całki.
Przy całkowaniu wygodną formą jest tylko suma (lub różnica), gdyż zachodzi zależność:
[tex]\int \bigg(f(x)\pm g(x) \bigg)\, dx =\int {f(x)} \, dx \pm\int {g(x)} \, dx[/tex]
Na początku "przygody" polecam Ci wykonywanie dużej ilości przykładów i sprawdzania ich poprzez WolframAlpha.
Istnieją również funkcje, których całki nie istnieją, nazywamy je niecałkowalnymi. Są też takie, których nie jesteśmy wstanie wyznaczyć za pomocą współczesnych standardów matematycznych np.:
[tex]\int {x^x} \, dx =?[/tex]
Na koniec tych podstaw podstaw rozwiążmy pierwszy przykład:
[tex]\int {x\cdot e^x} \, dx[/tex]
Zauważamy, że:
[tex]f(x)=x\\f'(x)=dx\\g'(x)=e^xdx\\g(x)=e^x[/tex]
Zatem zgodnie ze wzorem:
[tex]\int {x\cdot e^x} \, dx=e^x\cdot x-\int {e^x} \, dx =e^x\cdot x-e^x+C=e^x(x-1)+C; \ C\in \mathbb{R}[/tex]
Żeby Ci pomóc podpowiem:
Pozostałe również należy wykonać metodą całkowania przez części.
W razie pytań pisz śmiało :)
