Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Pole trójkąta:
[tex]S = \frac{a*h}{2}\\[/tex]
gdzie a to długość podstawy a h to wysokość trójkąta
Załóżmy że ΔABC ma |AB| = a i wysokość poprowadzoną z C równą h
Ponieważ D jest środkiem boku AC i E jest środkiem boku BC więc
odcinek DE jest || do AB oraz
2 * |DE| =|AB|
Odcinek |DE| dzieli też wysokość h na dwie równe połowy (wynika to chociażby z tw. Talesa)
Ponieważ F dzieli AB na połowy więc
|AF| = |FB| = 1/2|AB|
Δ DEC ~ ΔABC ze skalą 2 (kąt, kąt, kąt) więc
|DE| = 1/2|AB|
Z tego wynika że wszystkie 3 trójkąty
ΔAFG, ΔFBH oraz ΔDEC mają równe podstawy i wysokości równe 1/2h
Mają więc również równe pola
Pole takie wynosi
[tex]S_{DEC} = \frac{\frac{1}{2}a * \frac{1}{2}h}{2} = \frac{1}{4} * \frac{a*h}{2} = \frac{1}{4}S_{ABC}[/tex] (wynika to też z podobieństwa ze skalą 2)
Tak więc suma pól trójkątów białych wynosi:
[tex]S_{AFB} + S_{FBH} + S_{DEC} = 3 * \frac{1}{4} S_{ABC} = \frac{3}{4}S_{ABC}[/tex]
Suma pól trójkątów zielonych to pole ΔABC - suma pół trójkątów białych
czyli
[tex]S_{z} = S_{ABC} - \frac{3}{4}S_{ABC} = \frac{1}{4} S_{ABC}[/tex]
Pole trójkątów zielonych jest więc równe polu poszczególnych trójkątów ΔDEC, ΔAFG i ΔFBH