Odpowiedź :
Odpowiedź:
[tex]y = \frac{3}{4}x - 2[/tex]
oraz
x = 4
Szczegółowe wyjaśnienie:
Przekształćmy równanie okręgu:
[tex]x^2 + y^2 - 4x +6y + 9 = 0\\(x-2)^2 -4 + (y +3)^2 -9 + 9 = 0\\(x-2)^2 + (y +3)^2 = 4\\[/tex]
Środek okręgu jest w punkcie (2,-3) a promień wynosi 2
Równanie prostej ma postać
y = ax + b
w postaci kanonicznej
ax - y + b = 0
(to równanie nie uwzględnia prostej o równaniu x = c)
Prosta przechodzi przez punkt (4,1) więc
1 = a*4 + b
czyli b = 1 -4a
Jeżeli prosta jest styczna to odległość od środka okręgu powinna wynosić 2
więc
[tex]\frac{|ax - y +b|}{\sqrt{a^2 + 1}} = d\\\frac{|2a+3 +b|}{\sqrt{a^2+ 1}} = 2[/tex]
Podstawiając za b = 1 - 4a otrzymujemy
[tex]\frac{|2a+3 + 1 -4a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{|4 -2a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 2[/tex]
[tex]2 * |2 - a| = 2 \sqrt{a^2 + 1}\\|2 - a| = \sqrt{a^2 + 1}\\(2-a)^1 = a^2 + 1\\4 - 4a + a^2 = a^2 + 1\\4a = 3\\a = \frac{3}{4}\\b = 1 - 4a = 1 - 4*\frac{3}{4} = 1 - 3 = -2\\[/tex]
Równanie stycznej:
[tex]y = \frac{3}{4}x - 2[/tex]
Ale powinny być 2 styczne, więc sprawdzamy równanie w postaci
x = c
Ponieważ przechodz przez punk (4.1) więc równanie to musi mieć postać
x = 4
Sprawdzamy czy ma jeden punk wspólny z okręgiem
[tex](4-2)^2 + (y+3)^2 = 4\\4 + (y+3)^2 = 4\\(y+3)^2 = 0\\[/tex]
Z tego wynika, że jest jedynie jedno rozwiązanie dla y = -3 więc prosta o równaniu x=4 jest drugą prostą spełniającą warunki zadania
Odpowiedź:
[tex]x=4\\y=\frac{3}{4} x-2[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Uprośćmy równanie naszego okręgu:
[tex](x-2)^2+(y+3)^2=4[/tex]
Z jednego punktu można poprowadzić dwie styczne do okręgu (punkt musi leżeć poza okręgiem). Jak wyznaczyć punkty styczności? Wg mnie najbardziej przejrzysty (na pewno nie najkrótszy) sposób to:
- wyznaczenie równania prostej (1) przechodzącej przez podany punkt oraz środek okręgu
- wyznaczenie prostej prostopadłej (2) do poprzedniej (1) przechodzącej przez środek okręgu
- wyznaczenie punktów przecięcia prostej (2) z okręgiem
- napisanie równań prostych stycznych (przez dwa punkty).
Żeby skrócić obliczenia (i nieco je skomplikować) możemy także napisać wstępne równanie prostej przechodzącej przez punkt A i następnie wymusić warunek, żeby ta prosta była w odległości r od środka okręgu. Wydaje mi się to o wiele szybszą metodą, zatem skorzystamy właśnie z niej:
Wstępne równanie prostej (wynika z ogólnego równania prostej):
[tex]1=4a+b[/tex]
[tex]b=1-4a[/tex]
więc, równanie prostej ma teraz postać:
[tex]y=ax+1-4a[/tex]
Należy mieć także na uwadze, że styczna może być dana równaniem: [tex]x=4[/tex]
Nasz promień ma długość [tex]2[/tex] . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej, w tym celu zmieniamy jej postać:
[tex]ax-y+1-4a=0[/tex]
Środek okręgu ma współrzędne:
[tex]S=(2;-3)[/tex]
Wstawiamy całość do wzoru na odległość punktu od prostej:
[tex]2=\frac{|2a+3+1-4a|}{\sqrt{a^2+(-1)^2} } \\\\2=\frac{|4-2a|}{\sqrt{1+a^2} } \\\\2\sqrt{1+a^2} =|4-2a|\\\\4\cdot (1+a^2)=16-16a+4a^2\\\\-12=-16a\\\\a=\frac{3}{4}[/tex]
Ponieważ otrzymaliśmy tylko jeden współczynnik kierunkowy oznacza to że musimy uwzględnić równanie [tex]x=4[/tex] (pisałem wcześniej z czego to wynika).
Zatem równanie prostej stycznej przechodzącej przez punkt A ma postać:
[tex]y=\frac{3}{4} x+1-3=\frac{3}{4}x-2[/tex]
Sprawdźmy teraz czy [tex]x=4[/tex] jest równaniem stycznej (w zasadzie to już wiemy że jest, ale dla reguły):
[tex]2=\frac{|2+0+0|}{\sqrt{1^2+0} } \\\\2=2[/tex]
Dowodzi to tego, że prosta o równaniu [tex]x=4[/tex] jest równaniem drugiej stycznej.
