Odpowiedź:
[tex]A. \ 9:4[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Proste DE i AB są równoległe , więc kąty CED i CBA mają równe miary, zatem trójkąt DEC jest podobny do trójkąta ABC, oba są trójkatami równobocznymi. Środkowe i wysokości trójkąta równobocznego przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka.
Pole trójkąta liczymy ze wzoru:
[tex]P = \frac{1}{2}a\cdot h[/tex]
Pole trójkąta ABC:
[tex]P_{ABC} = \frac{1}{2}a\cdot h[/tex]
Pole trójkąta CDE:
[tex]h_{CDE} = \frac{2}{3} \ h[/tex]
[tex]\frac{h}{\frac{1}{2}a} = \frac{\frac{2}{3}h}{x}\\\\x\cdot h = \frac{1}{3}ah \ \ /:h\\\\x = \frac{1}{3}a\\\\DE = 2x = 2\cdot\frac{1}{3}a = \frac{2}{3}a\\\\P_{CDE} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}a\cdot\frac{2}{3}h = \frac{2}{9}ah[/tex]
[tex]\frac{P_{ABC}}{P_{CDE}} = \frac{\frac{1}{2}ah}{\frac{2}{9}ah} = \frac{9}{4}[/tex]
Lub
Skala podobieństwa [tex]k = \frac{3}{2}[/tex]
[tex]\frac{P_{ABC}}{P_{CDE}} = k^{2} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}\\\\Odp. \ A. \ 9:4[/tex]
