Odpowiedź:
[tex]g_{min}(1)=-4\\g_{max} \ nie \ istnieje[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Do wyznaczania takich wartości (ekstremów) służy pochodna.
Jest to funkcja kwadratowa, każda funkcja tego typu posiada zawsze tylko i wyłącznie jedno ekstremum (co więcej globalne). Oznacza to, że dla tych funkcji nie istnieje jednocześnie maksimum i minimum, gdy są określone na zbiorze liczb rzeczywistych (zawsze tylko jedno z nich - albo maks albo min).
Obliczmy zatem ekstremum dla wskazanej funkcji:
[tex]g(x)=x^2-2x-3\\g'(x)=2x-2[/tex]
Przyrównujemy pochodną do zera (wynika to z tego, że znak pochodnej określa monotoniczność funkcji, po jej wyzerowaniu znajdujemy punkt stacjonarny, czyli taki gdzie istnieje możliwość występowania ekstremum):
[tex]g'(x)=0=2x-2[/tex]
Wyznaczamy zmienną [tex]x[/tex]:
[tex]2x-2=0\\x=1[/tex]
Jest to punkt stacjonarny, badamy możliwość istnienia ekstremum (ponieważ jest to funkcja kwadratowa, wiemy że na pewno jest to ekstremum, ale dla zasady). W tym celu wybieramy dowolny argument poprzedzający i następujący po stacjonarnym, a następnie porównujemy znaki wartości pochodnej:
[tex]g'(0)=-2\\g'(2)=2[/tex]
Pochodna zmienia swój znak w otoczeniu tego punktu, zatem jest to ekstremum. Ponieważ zmiana znaku następuje z ujemnego na dodatni oznacza to że funkcja wyjściowa najpierw malała i teraz zaczyna rosnąć, mamy zatem do czynienia z minimum lokalnym. Z racji, że jest to jedyne ekstremum jest ono jednocześnie globalne.
Obliczmy zatem wartość najmniejszą dla funkcji wyjściowej:
[tex]g_{min}(1)=1^2-2\cdot1-3=1-2-3=-4[/tex]
Istnienie wartości największej:
Funkcja nie przyjmuje wartości największej, możemy jedynie napisać:
[tex]g_{max}\to\infty[/tex]
