Rozwiązanie:
Zadanie 1.
Prosta:
[tex]y=3x-2\\3x-y-2=0\\[/tex]
Okrąg:
[tex](x-4)^{2}+y^{2}=10[/tex]
Stąd środek [tex]S=(4,0)[/tex], a promień [tex]r=\sqrt{10}[/tex].
Obliczamy odległość środka okręgu od prostej:
[tex]d=\frac{|12-2|}{\sqrt{9+1} } =\frac{10 }{\sqrt{10} } =\sqrt{10}[/tex]
Skoro [tex]r=d=\sqrt{10}[/tex], to prosta jest styczna do okręgu (czyli ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny).
Zadanie 2.
[tex]x^{2}+(y+2)^{2}=4[/tex]
Stąd środek [tex]S=(0,-2)[/tex], a promień [tex]r=2[/tex].
Skoro styczna ma być równoległa do prostej [tex]y=x-1[/tex], to musi mieć współczynnik kierunkowy równy [tex]1[/tex]. Zatem styczna ma postać:
[tex]y=x+b\\x-y+b=0[/tex]
Teraz korzystamy z tego, że odległość stycznej od środka okręgu wynosi [tex]r[/tex]:
[tex]d=\frac{|2+b|}{\sqrt{1+1} } =2 \\|2+b|=2\sqrt{2}\\4+4b+b^{2}=8\\b^{2}+4b-4=0\\\Delta=16-4*1*(-4)=32\\b_{1}=\frac{-4-4\sqrt{2} }{2} =-2-2\sqrt{2} \\b_{2}=\frac{-4+4\sqrt{2} }{2} =-2+2\sqrt{2}[/tex]
Zatem szukane styczne to [tex]y=x-2-2\sqrt{2}[/tex] oraz [tex]y=x-2+2\sqrt{2}[/tex].