Rozwiązanie:
Prezentuję dwa zadania. Są to typowe zadania optymalizacyjne. Schemat ich rozwiązywania:
1) dążenie do stworzenia funkcji jednej zmiennej szukanej wielkości (lub zależnej od niej wielkości),
2) wyznaczenie dziedziny tej funkcji,
3) obliczenie pochodnej,
4) zbadanie przebiegu zmienności pochodnej (warunek wystarczający istnienia ekstremum),
5) obliczenie ekstremów (ew. ich wartości zależenie od zadania).
Do zadań tego typu niekiedy też przydają się zależności między średnimi (tzw. nierówności Cauchy'ego), czego przykładem jest zadanie drugie rozwiązane poniżej.
Zadanie 1254.
Na początku musimy uzależnić pole trapezu od zmiennej określającej jego dłuższą podstawę. Niech [tex]a[/tex] oznacza jej długość. Wysokość trapezu obliczymy z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]6^{2}=(\frac{a-6}{2} )^{2}+h^{2}\\36=\frac{a^{2}-12a+36}{4} +h^{2}\\h^{2}=36-\frac{a^{2}-12a+36}{4}\\h^{2}=\frac{144-a^{2}+12a-36}{4} =\frac{-a^{2}+12a+108}{4} \\h=\frac{\sqrt{-a^{2}+12a+108} }{2}[/tex]
Teraz możemy zapisać pole trapezu w zależności od zmiennej [tex]a[/tex] :
[tex]P(a)=\frac{(a+b)h}{2} =\frac{(a+6)}{2} *\frac{\sqrt{-a^{2}+12a+108} }{2} =\frac{\sqrt{(a+6)^{2}(-a^{2}+12a+108)} }{4}[/tex]
Wyznaczamy dziedzinę tej funkcji:
[tex]a>0 \wedge -a^{2}+12a+108>0\\\Delta=144-4*(-1)*108=576\\a_{1}=\frac{-12-24}{-2} =18\\a_{2}=\frac{-12+24}{-2} =-6\\D: a \in (0,18)[/tex]
Pole trapezu będzie największe, jeżeli funkcja [tex]P(a)[/tex] będzie przyjmować największą wartość. Żeby nie babrać się z pochodną pierwiastka możemy go pominąć w rozważaniach, gdyż wystarczy, że liczba podpierwiastkowa będzie osiągać wartość największą. Wprowadźmy funkcję:
[tex]f(a)=\frac{1}{4}((a+6)^{2}(-a^{2}+12+108))[/tex] dla [tex]a \in (0,18)[/tex]
Obliczamy pochodną tej funkcji:
[tex]f'(a)=\frac{1}{4}*(2(a+6)(-a^{2}+12a+108)+(-2a+12)(a+6)^{2})=\frac{1}{2} *(-a^{3}+12a^{2}+108a-6a^{2}+72a+648+(-a+6)(a^{2}+12a+36))=\frac{1}{2}*(-a^{3}+12a^{2}+108a-6a^{2}+72a+648-a^{3}-12a^{2}-36a+6a^{2}+72a+216)=\frac{1}{2}*(-2a^{3}+216a +864)=-a^{3}+108a+432[/tex]
Obliczamy miejsca zerowe pochodnej:
[tex]-a^{3}+108a+432=0\\W(12)=-1728+1296+432=0\\-(a-12)(a^{2}+12a+36)=0\\-(a-12)(a+6)^{2}=0\\a=12 \vee a=-6 \notin D[/tex]
Szkicujemy wykres pochodnej (symbolicznie) i odczytujemy:
[tex]f'(a)>0 \ dla \ a \in (0.12)\\f'(a) =0 \ dla \ a=12\\f'(a) <0 \ dla \ a \in (12,18)[/tex]
To oznacza, że:
[tex]f(a)[/tex] rośnie dla [tex]a \in (0,12)[/tex]
[tex]f(a)[/tex] maleje dla [tex]a \in (12,18)[/tex]
Stąd wniosek, że funkcja przyjmuje maksimum lokalne dla [tex]a=12[/tex]. To jest odpowiedź do naszego zadania, gdyż szukaliśmy takiego [tex]a[/tex], dla którego pole jest największe.
Zadanie 1255.
Wiadomo, że:
[tex]p=\frac{a+b+c}{2}\\2p=a+b+c[/tex]
Ponadto [tex]c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}[/tex], więc:
[tex]2p=a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}}[/tex]
Teraz zauważmy, że:
[tex]a+b\geq 2\sqrt{ab}\\a^{2}+b^{2}\geq 2ab[/tex]
Wynika to m.in. z nierówności pomiędzy średnimi - arytmetyczną, a geometryczną oraz kwadratową, a arytmetyczną. Zaznaczmy tylko, że równość zachodzi, gdy [tex]a=b[/tex]. Zatem:
[tex]2p=a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}} \geq 2\sqrt{ab} +\sqrt{2ab} \\2p\geq \sqrt{ab}(2+\sqrt{2})\\\frac{2p}{2+\sqrt{2} } \geq \sqrt{ab} \\\frac{4p^{2}}{4+4\sqrt{2}+2 } \geq ab\\\frac{2p^{2}}{3+2\sqrt{2} } \geq ab[/tex]
Pole trójkąta wyraża się wzorem:
[tex]P=\frac{1}{2}ab[/tex]
Stąd:
[tex]P_{max}=\frac{1}{2} *\frac{2p^{2}}{3+2\sqrt{2} }=\frac{p^{2}}{3+2\sqrt{2} } =\frac{p^{2}(3-2\sqrt{2} )}{9-8} =p^{2}(3-2\sqrt{2})[/tex]
