Rozwiązanie:
Zawsze ilekroć mamy do czynienia z ciągiem, to musimy założyć, że [tex]n \in \mathbb{N}_{+}[/tex]. Wzór naszego ciągu to:
[tex]a_{n}=1-\frac{6}{n+1}[/tex]
Chcemy znaleźć całkowite wyrazy tego ciągu. Widzimy, że liczba [tex]1[/tex] jest całkowita, więc skupimy się na wyrażeniu [tex]\frac{6}{n+1}[/tex]. Musi być ono również całkowite (gdyż różnica liczb całkowitych to nadal liczba całkowita). Teraz zachodzi pytanie - kiedy to wyrażenie będzie całkowite? Otóż mianownik musi być dzielnikiem licznika, zatem [tex]n+1 | \ 6[/tex]. Po prostu [tex]n+1[/tex] musi być dzielnikiem [tex]6[/tex]. Dzielniki całkowite liczby [tex]6[/tex] to:
[tex]-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3 ,6[/tex]
Zatem:
[tex]n+1=-6\\n+1=-3\\n+1=-2\\n+1=-1\\n+1=1\\n+1=2\\n+1=3\\n+1=6[/tex]
Pierwszych pięciu równań nie ma sensu rozwiązywać, gdyż widać, że wyjdzie [tex]n\leq 0[/tex], a wtedy [tex]n \notin \mathbb{N}_{+}[/tex]. Rozwiązujemy kolejne równania i otrzymujemy:
[tex]n=1\\n=2\\n=5[/tex]
Zatem pierwszy, drugi oraz piąty wyraz są liczbami całkowitymi. Obliczamy ich wartości:
[tex]a_{1}=1-\frac{6}{1+1}=1-3=-2\\a_{2}=1-\frac{6}{2+1} =1-2=-1\\a_{5}=1-\frac{6}{5+1} =1-1=0[/tex]
