Rozwiązanie:
[tex]f(x)=\frac{x^{2}-3}{x-2}[/tex]
[tex]D:x\neq 2[/tex]
Obliczamy pochodną funkcji:
[tex]f'(x)=\frac{2x(x-2)-x^{2}+3}{(x-2)^{2}} =\frac{2x^{2}-4x-x^{2}+3}{(x-2)^{2}} =\frac{x^{2}-4x+3}{(x-2)^{2}}[/tex]
Obliczamy miejsca zerowe pochodnej:
[tex]f'(x)=0 \iff x^{2}-4x+3=0\\\Delta=16-4*1*3=4\\x_{1}=\frac{4-2}{2}=1\\x_{2}=\frac{4+2}{2}=3[/tex]
Szkicujemy symboliczny wykres pochodnej (załącznik) i odczytujemy:
[tex]f'(x)>0 \ dla \ x \in (-\infty,1) \cup (3,\infty)\\f'(x) =0 \ dla \ x=1 \vee x =3\\f'(x)<0 \ dla \ x \in (1,2) \cup (2,3)[/tex]
To oznacza, że:
[tex]f(x)[/tex] rośnie dla [tex]x \in (-\infty,1) \cup (3,\infty)[/tex]
[tex]f(x)[/tex] maleje dla [tex]x \in (1,2) \cup (2,3)[/tex]
