Odpowiedź:
Istnieje 60 takich liczb
Szczegółowe wyjaśnienie:
Załóżmy na początek że liczba ta ma tylko trzy cyfry, zatem możemy ją zapisać jako:
abc
zatem iloczyn jej cyfr będzie miał postać:
[tex]a*b*c=x[/tex]
X, zgodnie z tekstem zadania, jest liczbą pierwszą. Zatem dzieli się jedynie przez 1 i przez x.
Stąd możemy wyciągnąć następujące wnioski:
- żadna z użytych cyfr nie jest równa 0, gdyż wtedy x=0, a 0 nie jest liczbą pierwszą;
- co najmniej jedna cyfra jest różna od 1, ponieważ gdyby wszystkie były równe 1, to x=1 , a 1 nie jest liczbą pierwszą;
- najwyżej jedna cyfra może być różna od 1, bo jeżeli dwie cyfry są różne od 1, np. a i b, to x miałby trzy dzielniki, a, b i 1, i nie byłby liczbą pierwszą.
Biorąc powyższe pod uwagę, nasza liczba to jedna cyfra która jest liczbą pierwszą, a reszta cyfr to jedynki. Dla liczby trzycyfrowej, mamy trzy możliwości:
a11
1a1
11a
gdzie a może być równe, 2, 3, 5 lub 7, gdyż są to jedyne liczby pierwsze w przedziale od 0 do 9.
Mamy cztery możliwości dla wartości a, i trzy miejsca na których może ona się pojawić, więc ilość liczb trzycyfrowych które spełniają warunki zadania to:
[tex]P_3=4*3=12[/tex]
Posługując się tą samą logiką możemy stworzyć zależność dla liczby o dowolnej ilości cyfr, gdzie:
[tex]P_n=4n[/tex]
Co znaczy, że dla liczby piętnastocyfrowej otrzymujemy:
[tex]P_{15}=4*15=60[/tex]
