Odpowiedź:
[tex]D=\bigg(\frac{12}{5} \ ; \ \frac{11}{5} \bigg)[/tex]
[tex]C=\bigg(\frac{20-8\sqrt{5} }{5} \ ; \ \frac{16\sqrt{5} -40}{5}+7\bigg)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
a)
Skoro wysokość wychodzi z punktu [tex]A[/tex], oznacza to, że jest ona opuszczona na bok [tex]BC[/tex]. Wysokość poprowadzona jest pod kątem prostym do boku. Należy zatem wyznaczyć równanie prostej prostopadłej do danej przechodzącej przez punkt [tex]B[/tex], a następnie znaleźć punkt [tex]D[/tex] jako przecięcie tych dwóch prostych.
Zacznijmy od zapisu podanej prostej w postaci ogólnej:
[tex]x-2y+2=0\\\\y=\frac{1}{2} x+1[/tex]
Szukana prosta musi mieć więc następujący współczynnik kierunkowy:
[tex]a=-2[/tex]
Wynika to z warunku prostopadłości dwóch prostych (są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy [tex]-1[/tex]). Równanie szukanej prostej przyjmuje teraz postać:
[tex]y=-2x+b[/tex]
By obliczyć wyraz wolny wstawmy współrzędne punktu [tex]B[/tex]:
[tex]-1=-8+b\\b=7[/tex]
Więc równanie prostej w której zawiera się bok [tex]BC[/tex] ma postać:
[tex]y=-2x+7[/tex]
Szukamy teraz współrzędnych punktu [tex]D[/tex], są one rozwiązaniem poniższego układu równań:
[tex]\left \{ {{y=\frac{1}{2}x+1 } \atop {y=-2x+7}} \right.[/tex]
Przyrównajmy:
[tex]\frac{1}{2}x+1=-2x+7\\\\2\frac{1}{2} x=6\\\\x=\frac{12}{5} \\\\y=-2\cdot\frac{12}{5} +7=\frac{11}{5}[/tex]
Zatem:
[tex]D=\bigg(\frac{12}{5} \ ; \ \frac{11}{5} \bigg)[/tex]
b)
Obliczmy najpierw długość [tex]|AB|[/tex]:
[tex]|AB|=\sqrt{(-4-4)^2+(-1+1)^2}=\sqrt{64} =8[/tex]
Znamy równanie prostej na której leży punkt [tex]C[/tex] (z podpunktu a), czyli jego współrzędne możemy zapisać następująco:
[tex]C=\bigg(x \ ; \ -2x+7\bigg)[/tex]
Wstawiamy te współrzędne do wzoru na długość odcinka [tex]|BC|=8[/tex]
[tex]8=\sqrt{(4-x)^2+(-1+2x-7)^2}\\8=\sqrt{16-8x+x^2+4x^2-32x+64} \\8=\sqrt{5x^2-40x+80}[/tex]
Ponieważ wartość pod pierwiastkiem jest dodatnia możemy kontynuować i podnieść obustronnie do kwadratu:
[tex]64=5x^2-40x+80\\5x^2-40x+16=0\\\\\Delta=1600-4\cdot5\cdot16=1280\\\sqrt{\Delta}=16\sqrt{5} \\\\x_1=\frac{40-16\sqrt{5} }{10} \\\\x_2=\frac{40+16\sqrt{5}}{10}[/tex]
Wtedy:
[tex]y_1=\frac{32\sqrt{5}-80 }{10} +7\\\\y_2=\frac{-32\sqrt{5}-80 }{10} +7[/tex]
Mamy dwa rozwiązania gdyż, na jednej prostej istnieją dwa punkty oddalone o [tex]8[/tex] jednostek od punktu [tex]B[/tex]. My wybieramy jednak tylko jedno ze względu na wiadomości z podpunktu a. Punkt [tex]C[/tex] ma więc współrzędne:
[tex]C=\bigg(\frac{40-16\sqrt{5} }{10} \ ; \ \frac{32\sqrt{5} -80}{10}+7\bigg)[/tex]
Dołączam także rysunek (wypisane współrzędne punktu [tex]C[/tex] są aproksymowane).
