Odpowiedź :
Rozwiązanie:
Zadanie "w przedziale" (równanie trygonometryczne):
[tex]sin^{2}x+4sin^{2}xcos^{2}x-3cos^{2}x=0\\sin^{2}x+4sin^{2}x(1-sin^{2}x)-3(1-sin^{2}x)=0\\sin^{2}x+4sin^{2}x-4sin^{4}x-3+3sin^{2}x=0\\-4sin^{4}x+8sin^{2}x-3=0\\[/tex]
Niech [tex]t=sin^{2}x[/tex], gdzie [tex]t \in <0,1>[/tex] :
[tex]-4t^{2}+8t-3=0\\\Delta_{t}=64-4*(-4)*(-3)=16\\t_{1}=\frac{-8+4}{-8}=\frac{1}{2}\\t_{2}=\frac{-8-4}{-8} =\frac{3}{2} \notin D[/tex]
Zatem:
[tex]sin^{2}x=\frac{1}{2}\\sin^{2}x-\frac{1}{2}=0\\(sinx-\frac{\sqrt{2} }{2})(sinx+\frac{\sqrt{2} }{2})=0\\sinx=-\frac{\sqrt{2} }{2} \vee sinx= \frac{\sqrt{2} }{2}\\x=-\frac{\pi}{4} +2k\pi \vee x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \vee x= \frac{\pi}{4} +2k\pi \vee x=\frac{3\pi}{4} +2k\pi, k \in \mathbb{Z}[/tex]
Uwzględniając przedział otrzymamy:
[tex]x \in [\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4} ,\frac{7\pi}{4}][/tex]
Zadanie 3.
Ustalmy, że bok [tex]a[/tex] leży na przeciwko kąta [tex]\alpha[/tex], bok [tex]b[/tex] na przeciwko kąta [tex]2\alpha[/tex], a bok [tex]c[/tex] na przeciwko kąta [tex]4\alpha[/tex]. Z twierdzenia sinusów dostaniemy m.in.:
[tex]\frac{a}{sin\alpha }=2R \Rightarrow a=2Rsin\alpha \\\frac{b}{sin2\alpha } =2R \Rightarrow b=2Rsin2\alpha \\\frac{c}{sin4\alpha }=2R \Rightarrow c=2Rsin4\alpha[/tex]
Podstawiamy to do naszej tezy i otrzymujemy:
[tex]\frac{1}{2Rsin\alpha } =\frac{1}{2Rsin2\alpha } +\frac{1}{2Rsin4\alpha }[/tex]
Mnożymy obustronnie przez [tex]2R[/tex] i dostajemy:
[tex]\frac{1}{sin\alpha }=\frac{1}{sin2\alpha }+\frac{1}{sin4\alpha }[/tex]
Teraz przekształcamy prawą stronę, po drodze korzystamy ze wzoru na sumę sinusów:
[tex]P=\frac{1}{sin2\alpha } +\frac{1}{sin4\alpha }=\frac{sin2\alpha +sin4\alpha }{sin2\alpha *sin4\alpha } =\frac{2sin\frac{2\alpha +4\alpha }{2} *cos\frac{4\alpha -2\alpha }{2} }{2sin\alpha cos\alpha sin4\alpha } =\frac{sin3\alpha *cos\alpha }{sin\alpha cos\alpha sin4\alpha }= \frac{sin3\alpha }{sin\alpha *sin4\alpha }[/tex]
Teraz zauważmy, że [tex]\alpha +2\alpha +4\alpha =180[/tex]°, więc:
[tex]sin3\alpha =sin(180-4\alpha )=sin4\alpha[/tex]
Podstawiamy to zamiast [tex]sin3\alpha[/tex] i dostajemy:
[tex]\frac{sin3\alpha }{sin\alpha *sin4\alpha }=\frac{sin4\alpha }{sin\alpha *sin4\alpha }=\frac{1}{sin\alpha }=L[/tex]
co kończy dowód.
Przy okazji - zadanie 3 (tożsamości trygonometryczne) w załączniku.