Rozwiązane

Liczby x , y , 11 w podanej kolejności tworzą rosnący ciąg arytmetyczny, a liczby x ; y + 2; 27 w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz x i y .



Odpowiedź :

Odpowiedź:

[tex]\left \{ {{x_1=3} \atop {y_1=7}} \right. \\\\lub\\\\\left \{ {{x_2=75} \atop {y_2=43}} \right.[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Z wiadomości o ciągu arytmetycznym:

[tex]y-x=11-y[/tex]

Z wiadomości o ciągu geometrycznym:

[tex]\frac{y+2}{x}=\frac{27}{y+2}[/tex]

Czyli:

[tex](y+2)^2=27x[/tex]

Oba te warunki muszą być spełnione jednocześnie, szukamy więc rozwiązania poniższego układu równań:

[tex]\left \{ {{y-x=11-y} \atop {(y+2)^2=27x}} \right.[/tex]

Z pierwszego równania wyznaczamy x

[tex]x=2y-11[/tex]

Wstawiamy do drugiego równania:

[tex](y+2)^2=27(2y-11)\\y^2+4y+4-54y+297=0\\y^2-50y+301=0\\\Delta=2500-4\cdot301=1296\\\sqrt{\Delta}= 36\\\\y_1=\frac{50-36}{2}=7\\\\y_2=\frac{50+36}{2}=43[/tex]

Wtedy:

[tex]x_1=2\cdot7-11=3\\\\x_2=2\cdot43-11=75[/tex]