Rozwiązanie:
Rysunek w załączniku.
Z definicji funkcji tangens w trójkącie prostokątnym [tex]ACD[/tex] mamy:
[tex]tg\alpha =\frac{h}{S+x} \Rightarrow h=tg\alpha (S+x)[/tex]
Z definicji funkcji tangens w trójkącie prostokątnym [tex]BCD[/tex] mamy:
[tex]tg\beta =\frac{h}{x} \Rightarrow h=tg\beta x[/tex]
Zatem możemy zapisać, że:
[tex]tg\alpha (S+x)=tg\beta x\\tg\alpha S+tg\alpha x=tg\beta x\\tg\alpha S=x(tg\beta -tg\alpha )\\x=\frac{tg\alpha S}{tg\beta -tg\alpha }[/tex]
Teraz podstawiamy tę wartość do wzoru na wysokość:
[tex]h=tg\beta x\\h=\frac{Stg\beta tg\alpha }{tg\beta -tg\alpha } =\frac{S*\frac{sin\alpha sin\beta }{cos\alpha cos\beta} }{\frac{sin\beta cos\alpha -sin\alpha cos\beta }{cos\alpha cos\beta } }=\frac{Ssin\alpha sin\beta }{cos\alpha cos\beta } *\frac{cos\alpha cos\beta }{sin(\beta -\alpha )} =\frac{Ssin\alpha sin\beta }{sin(\beta -\alpha )}[/tex]
co kończy dowód.
